Случайные погрешности измерения и способы их описания.

Описание результата наблюдения и случайной погрешности может осуществляться на основе теории вероятности и математической статистики.

Погрешность как случайная величина, наиболее полно характеризуется функцией распределения вероятностей F(), определяющей вероятность появления того, что случайная погрешность в i-ом опыте окажется меньше некоторого значения .

, где Р – вероятность появления события.

Зная вероятность появления различных значений, можно построить распределение вероятностей появления погрешностей в функции этого значения. Функция F() изменяется от 0 до 1 и F(- )=0, F(+ )=1.

Если симметрична относительно точки А, то распределение результатов наблюдения будет симметрично относительно истинного значения А. В этом случае целесообразно сдвинуть по оси абсцисс на значение _А, то есть исключить систематическую составляющую погрешности (_А=_С) и получить функцию распределения случайной составляющей погрешности =^о.

Вероятность попадания случайной погрешности в заданный интервал (₁<<₂) равняется приращению функции распределения на этом интервале , т.е. Р(₁<<₂) =.

При сужении интервала .

Для описания погрешностей как случайных величин используется плотность распределения вероятностей

График может иметь различную форму в зависимости от закона распределения погрешностей. Для (рис.1) кривая f() имеет форму купола. Если имеет две составляющие, причем случайные составляющие группируются около систематических составляющих, малые случайные составляющие имеют большую плотность, чем большие.

Вероятность появления случайной погрешности определяется площадью, ограниченной кривой и осью абсцисс.

А

Р

_{с 1 с 2}

На втором рисунке показан случай, когда внесена поправка на значение _с. В этом случае _с =0 и около нулевого математического ожидания погрешности группируются случайные погрешности ^о.

Т.к. , то вероятность появления случайных погрешностей определеяется площадью, ограниченной кривой и осью абсцисс.

В зависимости от рассматриваемого интервала .

Значение – это элемент вероятности, равный площади прямоугольника с основанием и абсциссами и , которые называются квантилями.

Со статистических позиций можно дать следующее определение составляющих погрешности:

1. Систематическая погрешность – это отклонение математического ожидания результатов наблюдения от истинного значения измеряемой величины.

.

2. Случайная погрешность – это разность между результатом единичного наблюдения и мат. ожиданием результата.

.

Математическое ожидание погрешности равно математическому ожиданию систематических составляющих погрешности, т.к. мат. ожидание случайной погрешности всегда равно 0.

Числовые вероятностные характеристики случайной погрешности.

Вероятностной характеристикой случайных погрешностей как случайных величин является закон распределения вероятностей. Чтобы характеризовать случайные погрешности, пользуются числовыми вероятностными характеристиками случайных погрешностей, которые называют начальными и центральными моментами (мат.ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент асимметрии и эксцесс). Моменты– это средние значения и называются начальными, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координаты, и центральными – от центра функции плотности вероятности.

Начальные моменты порядка r результатов наблюдений представляют собой мат.ожидание степени х^r

Первый начальный момент совпадает с мат.ожиданием результатов наблюдений, т.е.

Мат.ожидание является оценкой истинного значения измеряемой величины.

Центральными моментами r-го порядка результатов наблюдений называют интеграл вида который получают при смещении начала координат плотности распределения вероятностей в точку m_x. Первый центральный момент равен 0. Второй – это дисперсия результатов наблюдений:

Дисперсия – характеристика рассеяния результатов наблюдений относительно мат.ожидания. Дисперсия увеличивается с увеличением рассеяния результатов наблюдения. В качестве характеристики рассеяния используется среднее квадратическое отклонение (положительное значение квадратного корня дисперсии):

Третий центральный момент характеризует асимметрию распределения случайных погрешностей, т.е. скошенность. Коэффициент асимметрии:

Четвертый центральный момент характеризует форму, плосковершинность или островершинность распределения случайных погрешностей и описывается с помощью эксцесса: