
- •§3. Из опыта психолого-дидактического проектирования уроков по подготовке к егэ
- •Ход урока
- •1 Способ решения методом равносильных переходов по схеме:
- •Слайд №1.
- •2 Способ: применение производной функции к её исследованию на наибольшее и наименьшее значение
- •Графическая интерпретация 2-го способа решения в плоскости xOy
- •Слайд №2 к уроку алгебры и математического анализа в 11 классе.
- •3 Способ решения методом перехода к системе уравнений относительно новых переменных
- •5 Способ решения методом умножения иррационального уравнения на функцию
- •6 Способ решения методом тригонометрической подстановки
- •7 Способ решения на основе векторной формы неравенства Коши-Буняковского (вводится для школьников впервые)
- •8 Способ решения методом рационализирующей подстановки Эйлера
1 Способ решения методом равносильных переходов по схеме:
Имеем:
(*)
Выпишем уравнение последней смешанной системы и решим его:
2
+ x2
– 2x
= 1 – x2
2x2
– 2
x
+ 1 = 0
(
x)2
– 2(
x)1
+ 1 = 0
(
x
- 1)2
= 0
x
= 1
x
=
/ 2.
Возвращаясь к прерванной схеме равносильности, получим:
(*)
x
=
/ 2. Ответ
: x
=
/ 2 .
Графическая интерпретация 1 способа решения в плоскости xOy.
Введём
в рассмотрение 2 функции: а) y(x)
=
б) y(x)
=
– x.
Графиком первой из них является верхняя
полуокружность окружности x2
+ y2
= 1, с центром
(0; 0) и радиусом R
= 1. Графиком второй – прямая, касающаяся
её в точке с найденной выше абсциссой
xo
=
/ 2, заметим, что yo
=
/
2. (См. слайд №1).
Слайд №1.
2 Способ: применение производной функции к её исследованию на наибольшее и наименьшее значение
Введём
в рассмотрение функцию f(x)
= x
+
,
найдём её область определения D(f)
и множество значений Е(f).
1)
D(f):
1 – x2
≥ 0
x2
≤ 1
| x
| ≤ 1. Итак, D(f)
= [-1; 1].
2) Так как рассматриваемая функция непрерывна на отрезке [-1; 1], то по й теореме Вейерштрасса она достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значения. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке [a; b] функции, имеющей на интервале (a; b) конечное число критических точек, достаточно вычислить значения функции во всех критических точках, принадлежащих интервалу (a; b), а также в концах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее значения.
а)
f´(x)
= ( x
+
)´
= 1 –
=
.
б)
f´(x)
= 0, если
= x
Так
как x
= 1 /
принадлежит
интервалу ( – 1; 1), то x
= 1 /
- критическая
точка данной функции (по определению).
в)
Вычислим: f(–1)
= –1, f(1)
= 1, f(
1 /
)
= (1 /
) +
=
= 2 /
=
.
Таким
образом,
= f(
1 /
) =
,
= f(–1)
= –1,
Е(f)
= [–1;
]
и данное уравнение имеет единственный
корень x
=
/ 2.
Ответ:
x
=
/ 2.
Графическая интерпретация 2-го способа решения в плоскости xOy
Слайд №2 к уроку алгебры и математического анализа в 11 классе.
3 Способ решения методом перехода к системе уравнений относительно новых переменных
Пусть
= t.
Тогда
= t
Поэтому исходное уравнение относительно переменной x сводится к решению (методом подстановки) следующей смешанной системы:
Ответ:
x
=
/ 2.
4 способ решения методом рационализации биномиального выражения xm(a + bxn)p, где a и b - постоянные; m, n, p –рациональные числа
Эвристическое правило. Если в биномиальном выражении xm(a + bxn)p:
1)
p
– целое, то возможна подстановка t
=
,
где r
– наименьшее общее кратное знаменателей
рациональных чисел m
и n;
2)
m
/ n
- целое, то возможна подстановка t
=
,
где
s
–знаменатель дроби p;
3)m
/ n
+ p
- целое, то возможна подстановка t
=,
где
s
–знаменатель дроби p.
Для
данного уравнения x
+
=
биномиальное выражение
=
имеет следующие значения параметров:
m
= 0, n
= 2, p
= 1 / 2. Так как m
/ n
= 0 - целое, то удобно сделать подстановку
t
=
(здесь s
= 2). И решение данного уравнения 4-ым
способом свелось к предыдущему 3-му
способу.
Ответ:
x
=
/ 2.