1 Способ решения методом равносильных переходов по схеме:

Имеем: (*)

Выпишем уравнение последней смешанной системы и решим его:

2 + x² – 2x = 1 – x² 2x² – 2x + 1 = 0 (x)² – 2(x)1 + 1 = 0

(x - 1)² = 0 x = 1 x = / 2.

Возвращаясь к прерванной схеме равносильности, получим:

(*) x = / 2. Ответ : x = / 2 .

Графическая интерпретация 1 способа решения в плоскости xOy.

Введём в рассмотрение 2 функции: а) y(x) = б) y(x) = – x. Графиком первой из них является верхняя полуокружность окружности x² + y² = 1, с центром (0; 0) и радиусом R = 1. Графиком второй – прямая, касающаяся её в точке с найденной выше абсциссой x_o = / 2, заметим, что y_o = / 2. (См. слайд №1).

Слайд №1.

2 Способ: применение производной функции к её исследованию на наибольшее и наименьшее значение

Введём в рассмотрение функцию f(x) = x + , найдём её область определения D(f) и множество значений Е(f).

1) D(f): 1 – x² ≥ 0 x² ≤ 1 | x | ≤ 1. Итак, D(f) = [-1; 1].

2) Так как рассматриваемая функция непрерывна на отрезке [-1; 1], то по й теореме Вейерштрасса она достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значения. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке [a; b] функции, имеющей на интервале (a; b) конечное число критических точек, достаточно вычислить значения функции во всех критических точках, принадлежащих интервалу (a; b), а также в концах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее значения.

а) f´(x) = ( x + )´ = 1 –=.

б) f´(x) = 0, если = x

Так как x = 1 / принадлежит интервалу ( – 1; 1), то x = 1 / - критическая точка данной функции (по определению).

в) Вычислим: f(–1) = –1, f(1) = 1, f( 1 / ) = (1 / ) + = = 2 / = .

Таким образом, = f( 1 / ) = , = f(–1) = –1,

Е(f) = [–1; ] и данное уравнение имеет единственный корень x = / 2.

Ответ: x = / 2.

Графическая интерпретация 2-го способа решения в плоскости xOy

Слайд №2 к уроку алгебры и математического анализа в 11 классе.

3 Способ решения методом перехода к системе уравнений относительно новых переменных

Пусть = t. Тогда = t

Поэтому исходное уравнение относительно переменной x сводится к решению (методом подстановки) следующей смешанной системы:

Ответ: x = / 2.

4 способ решения методом рационализации биномиального выражения x^m(a + bxⁿ)^p, где a и b - постоянные; m, n, p –рациональные числа

Эвристическое правило. Если в биномиальном выражении x^m(a + bxⁿ)^p:

1) p – целое, то возможна подстановка t = , где r – наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n;

2) m / n - целое, то возможна подстановка t = , где s –знаменатель дроби p;

3)m / n + p - целое, то возможна подстановка t =, где s –знаменатель дроби p.

Для данного уравнения x + = биномиальное выражение

= имеет следующие значения параметров: m = 0, n = 2, p = 1 / 2. Так как m / n = 0 - целое, то удобно сделать подстановку t = (здесь s = 2). И решение данного уравнения 4-ым способом свелось к предыдущему 3-му способу.

Ответ: x = / 2.