Ход урока

I этап урока. Объявление темы и главной образовательной цели урока; стимулирование чувства долга, ответственности, познавательного интереса учащихся при подготовке к ЕГЭ и ЦТ.

II этап урока. Оценка качества и коррекция уровня выполнения домашней работы. Ответы на вопросы учащихся. Экспресс-контроль самостоятельных решений следующих иррациональных уравнений:

1. ( Решение методом перехода к системе уравнений относительно новых переменных. Ответ: );

2. ( Решение на основе теоремы о корне. Ответ: );

3. ( Решение на основе использования монотонности функции. Ответ:).

Методические указания для начинающего учителя. Приведём возможные решения указанных заданий.

1. Решение уравнения :

Введём в рассмотрение две новые переменные:

, (1)

. (2)

Тогда u+v=4. Так как х+41= u⁴, 41 – х = v⁴ , то, сложив почленно эти два равенства, получим: u⁴+ v⁴=82. Для нахождения u и v имеем систему

(3)

Её решим, используя двукратно формулу a²+b²=(a+b)² – 2ab. Из равенства следует, что (u²+v²)² – 2u²v²=82, то есть ((u+v)² – 2uv)² – – 2u²v²=82. С учетом того, что , получаем (16 – 2uv)² – 2u²v²=82 256 – 64uv+4u²v² – 2u²v² – 82=0 2u²v² – 64uv+174=0

(uv)² – 32(uv)+87=0. По теореме, обратной теореме Виета, получаем, что uv=3 или uv=29. Поэтому система (3) равносильна следующей совокупности двух систем:

Вторая система последней совокупности решений не имеет, так как в уравнении дискриминант D<0. Значит, она равносильна следующей совокупности:

или

Возвращаясь к x, получаем:

Ответ: 40.

2. Решение уравнения :

Введём в рассмотрение функцию f(y)=. Тогда исходное уравнение можно представить в виде f(2x+1)+f(x)=0 f(2x + 1) = – f(x).

Заметим, что функция f(y) является нечётной на R, поэтому последнее уравнение можно переписать так: f(2x + 1) = f ( – x). (4)

Кроме того, она монотонно возрастает на всей своей области определения. Действительно, её производная положительна на R:

f ^/(y)=>0.

Поэтому на основании достаточного условия монотонности функция f(y) возрастает на R. В силу теоремы о корне из уравнения (4) следует, что

2х + 1 = – х .

Ответ: .

3. Решение уравнения .

Перепишем уравнение в виде . Введём в рассмотрение функцию f(x)=1+. Тогда полученное уравнение примет вид f(f(x))=x.

Для решения уравнений такого вида можно применить следующее

Утверждение. Если функция f(x) непрерывна и монотонно возрастает на промежутке X, то уравнения f(x)=x и f(f(x))=x равносильны на X.

Введённая в рассмотрение непрерывная функция f(x)=1+ монотонно возрастает при x 0. В соответствии с приведённым утверждением имеем: f(x)= x 1+=х

Ответ: .

ΙΙΙ этап урока. Деятельностный подход в систематизации методов решения иррациональных уравнений типа (*).

Методические указания для начинающего учителя. Принцип смены приоритетов при эвристическом диалоге, связанном с фронтальным повторением и обсуждением по выбору учащихся восьми методов решения иррациональных уравнений, предполагает:

1. повторение (устно/полуписьменно) стержневых идей и логики операционального состава того или иного метода;

2. письменное решение уравнения с целью получения точного окончательного ответа при реализации другого метода;

3. сравнение методов решений по таким критериям, как:

   1. оригинальность - традиционность идеи,

   2. объём логических аргументаций и вычислений,

   3. реализация внутри-, межпредметных связей,

   4. скорость получения ответа, затраты учебного времени,

   5. эстетическая привлекательность метода,

   6. распространенность метода в задачном материале;

   7. составление таксономии задач по методам их решения (деятельностный подход).

Приведем все 8 способов решения.