§ 8. Локальная теорема лапласа

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях трудно, так как формула (1.14) требует выполнения действий над громадными числами. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления собы­тия ровно k раз в п испытаниях, если число испытаний достаточно ве­лико.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления собы­тия А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k) того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше п) значению функ­ции

где .

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента х (прил. II). Для отрицательных значений аргумента поль­зуются теми же таблицам, так как функция φ(х) четна, т. е. φ(- х) = φ(х).

Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна

(1.21)

(1.22)

1.137. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию п = 400; k — 80; р = 0,2; q — 0,8.

Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа

P₄₀₀(80) = (1/√(400*0,2*0,8))*φ(х) = 1/8*φ(х).

Вычислим x =( k-np)/√(npq) =(80 – 400*0,2)/8 = 0.

По таблице (прил. II) находим φ(0) = 0,3989. Искомая вероятность P₄₀₀(80) = 1/8 • 0,3989 = 0,04986.

По формуле Бернулли Р₄₀₀(80) = 0,0498.

1.138. Вероятность изготовления детали высшего сорта на данном станке равна 0,4. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 26 деталей половина окажется высшего сорта.

Ответ: 0,093.

1.139. Выполнено 40 измерений. Найти вероятность того, что положитель­ная ошибка появится в 25 случаях.

Ответ: 0,036.

1.140. Бюффон бросил монету 4040 раз. При этом герб выпал 2048 раз. С какой вероятностью можно было ожидать этот результат?

Ответ: 0,0085.

1.141. Найти вероятность выпадения герба 4 раза при 10 бросаниях монеты.

Решение. Имеем

t = (4 - 5)/ √2,5 = 0,632, y' = 0,460, Δt = 1/√2,5 = 0,632.

На основании формулы (1.21)

P₁₀(4) = (1*0,460*0,632)/√2=0,207.

Биноминальное распределение дает Р₁₀(4) = 0,205.

1.142. Приняв вероятность рождения мальчика равной 0,515, найти вероят­ность того, что среди 80 новорожденных 42 мальчика.

Ответ: 0,009.

1.143. Стрелок сделал 30 выстрелов с вероятностью попадания при отдель­ном выстреле 0,3. Найти вероятность того, что при этом будет 8 попаданий.

Ответ: 0,147.

1.144. Английский ученый Пирсон, подбросив монету 12 000 раз, получил частость выпадения герба 0,5016. Найти вероятность получения такой частости при повторном опыте.

Ответ: 0,007.

1.145. Сколько раз с вероятностью 0,0484 можно ожидать появления собы­тия А в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдель­ном испытании равна 0,5?

О т в е т: 55.

§ 9. Случайные величины. Формы задания закона распределения. Функция и точность распределения. Вероятность попадания в интервал

Одним из важнейших основных понятий теории вероятностей яв­ляется понятие о случайной величине.

Случайной называется величина, которая в результате опыта мо­жет принять то или иное одно значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Примером случайных величин являются:

1) число попаданий при п выстрелах,

2) результат измерения какой-либо вели­чины,

3) координаты точек попадания при стрельбе и т. д.

Случайные величины могут быть прерывными (дискретными) и не­прерывными.

Прерывной случайной величиной называют такую случай­ную величину, возможные значения которой можно заранее указать (вышеприведенный пример 1).

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, возможные значения которой непрерывно заполняют не­который промежуток и не могут быть перечислены заранее (примеры 2 и 3).

От событий, понятием которых мы оперировали в главе 1, всегда можно перейти к случайным величинам. Пусть производится опыт, в котором может появиться или не появиться событие А.

Вместо события А можно рассматривать случайную величину X, равную 1, если событие А происходит, и равную 0, если событие А не происходит.

В отличие от величины неслучайной случайную величину недоста­точно характеризовать числом, необходимо каждому из ее возможных числовых значений приписывать вероятность появления этих значе­ний.

Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможным значением случайной величины и соответствующими вероятностями, называют законом распределения случайной величины. Закон распре­деления - фундаментальное понятие теории вероятностей.

Для характеристики закона распределения прерывной случайной величины часто применяются ряд (таблица) и многоугольник распре­деления. Если X — случайная величина, которая может принять зна­чения Х₁ , Х₂ ,..., Х_п, то ряд распределения имеет вид

Xi	X1	X2	…	Xn
pi	p 1	p2	…	pn

(1.23)

в которой перечислены возможные значения случайной величины X и соответствующие им вероятности. Так как в таблице перечислены все возможные значения Х_i , то . Например, для случайной величины k - числа появлений положительной ошибки при 8 измерениях ряд распределения имеет следующий вид:

Число появлений к	0	1	2	3	4	5	6	7	8	Контроль
X	1	8	28	56	70	56	28	8	1	256
p	256	256	256	256	256	256	256	256	256	256

Здесь вероятности р_i вычислены по формуле (1.14)

P₈(k) = C₈^kp^hq^n-k (p = 1/2).

Чтобы придать ряду распределения более на­глядный вид, прибегают к его графическому изображению, отклады­вая по оси абсцисс значения X_i а по оси ординат - вероятности. Концы ординат соединяют ломаной линией. Полученная фигура называет­ся многоугольником распределения. Так, для приведенного выше ряда распределения многоугольник имеет вид, представленный на рис. 3.

Рисунок 3. Рисунок 4.

Функция распределения

Для задания закона распределения как прерывной, так и непре­рывной случайной величины служит так называемая функция рас­пределения. Функцией распределения называется вероятность того, что случайная величина принимает значение, меньшее некоторого за­данного значения х случайной величины X, т. е.

F(x) = P(X<x). (1.24)

Функцию F(x) называют еще интегральной функцией распределе­ния. Приведем ее некоторые свойства:

1. F () = 0;

2) F () = 1;

3) F (х₂) ≥ F (x₁), если x₂ ≥ x_{1 .}

Эти свойства легко иллюстрировать с помощью геометрической интерпретации как вероятность попадания на отрезок левее точки х, расположенной на числовой оси х (рис. 4).

1.146. Построить функцию распределения для случайной величины X = k числа попаданий в мишень при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле р = 0,33.

Решение. Ряд распределения (см. задачу 1.116) имеет вид

k_i 0 12 3 4

p_i=р₄(k_i) 0,20 0,40 0,29 0,10 0,01

Из определения функции F(X) (1.24) и ряда распределения следует:

1) При k ≤ 0 F (k = 0) = р (k < 0) = 0;

2) При k =1 F (k = l) = p(k<1)=p(k = 0) = 0,20;

3) При k = 2 F (k = 2) = p(k< 2) =p(k=0)+p(k= l) = 0,60.

Аналогично рассуждая, имеем:

4) При k = 3 F (6 = 3) = 0,89;

5) При k = 4 F (k =4) = 0,99;

6) При k>4 F (k>4) = 1,00.

Общая формула .

Рисунок 5. Рисунок 6.

Откладывая по оси абсцисс значение k, а по оси ординат F(k) и выбрав определенный масштаб, получим график F(k) (рис. 5).

Закон распределения для непрерывной случайной величины удоб­но задавать в виде плотности распределения (кривой распределения), которая определяется как производная от функции распределения, т. е.

(1.25)

Плотность φ(x) называется еще дифференциальным законом рас­пределения (а функция F(x) — интегральным законом).

Плотность φ(x) обладает свойствами:

1) 2) (1.26)

т. е. площадь, заключенная «под кривой распределения», всегда рав­на 1. Если все возможные значения X заключены в пределах от α до β, то

(1.27)

Величину φ(x)dx, выражающую с точностью до бесконечно малой вероятность попадания на участок dx, примыкающий к точке X, на­зывают элементом вероятности (рис. 6).

Очевидно, что F(x) и φ (х) связаны соотношением

. (1.28)

Вероятность попадания на участок выражается через плотность так:

(1.29)

1.147. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью

φ(х) = a cos(x) при ;

Рисунок 7. Рисунок 8.

Рисунок 9. Рисунок 10.

φ(х) =0 при .

а) Найти коэффициент а; б) построить график плотности φ (x); в) найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

Решение: а) На основании свойства (1.26) можно записать

откуда, а = 1/2.

б) График плотности φ (x) изображен на рис. 7.

в) По формуле (1.28) получаем

График F(x) изображен на рис. 8.

1.148. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью φ (x) = С при а < х < β (равномерный закон распределения).

а) Выразить C через а и β; б) найти F(x).

Решение, а) Так как график функции φ (x) = С имеет вид, представлен­ный на рис. 9, то на основании свойства (1.27) площадь прямоугольника (или ) равна единице, т. е. (β - а)*С = 1, откуда

а) и ;

b) ;

Часто оказывается необходимым знать вероятность того, что случайная ве­личина примет значение, заключенное в некоторых пределах, например от до .

При этом условимся левый конец включать в участок (,), а правый не включать. Можно показать, что тогда искомая вероятность

(1.30)

Это следует из геометрической интерпретации (рис. 10). Заметим, что , при этом для непрерывной величины Р (х = а) = 0. Одна­ко такое значение случайной величины в отличие от прерывной величины нель­зя считать невозможным (оно происходит, но крайне редко).

1.149. В условиях задачи 1.116 найти вероятность того, что число попаданий в мишень будет находиться в пределах 1 ≤ k < 3 (т. е. будет равно 1 или 2).

Решение. На основании выражения (1.30) имеем

Р {1 ≤ k < 3} = F (k = 3) — F (k = 1) = 0,89 — 0,20 = 0,69.

Действительно

Р {1 ≤ k < 3} = p₄ (l) + p₄ (2) = 0,40+0,29 = 0,69.

1.150. Функция распределения случайной величины X имеет вид

Найти вероятность попадания величины X на участок .

Решение. Так как случайная величина непрерывна, то Р(х = а.) = 0. Поэтому

1.151. Составить ряд распределений случайной величины X — числа опы­тов, которые необходимо сделать до первого появления интересующего нас собы­тия, если вероятность его появления в одном опыте равна р (указание: p_i = q^i-1p).

152. Составить ряд распределения вероятностей и построить многоуголь­ник распределения числа появлений отрицательной случайной ошибки при трех измерениях.

153. Составить ряд распределения вероятностей и построить многоуголь­ник распределения вероятностей появления положительной случайной ошибки при восьми измерениях.

152. Случайная величина X распределена по закону Коши

f(x) = a/(1-x²);

Рисунок 11.

a) найти коэффициент а; б) найти функцию распределения F(x); в) найти вероят­ность попадания величины X на участок (—1; +1).

Ответ: а) ; б) ; в)

1.155. Случайная величина X подчинена показательному закону распреде­ления

Найти F(x).

Ответ: .

1.156. Кривая распределения случайной величины X представляет собой полуэллипс с полуосями а и Ь (рис. 11,а). Величина a известна. Требуется по­строить функцию распределения F(x).

Решение. Величина b находится из условия равенства единице площа­ди, ограниченной кривой распределения:

.

Плотность распределения

График функции F(x) см. на рис. 11,б.

1.157. Функция распределения случайной величины X имеет вид

.

Найти φ(x).

Ответ: .

1.158. Плотность распределения случайной величины X записывается так:

Чему равно А? Найти плотность распределения.

1.159. Ряд распределения случайной величины X имеет вид

x_i 1 2 3 4

p_i 0,10 0.15 0.20 ?

Дописать недостающую вероятность. Построить функцию распределения. Найти вероятность попадания в интервал Р{1 ≤ х < 3}.

160. Подобрать самостоятельно функцию, которая могла бы служить плотностью распределения непрерывной случайной величины в соответствующем интервале, выбрав ее из класса: 1) степенных, 2) показательных, 3) логарифми­ческих или тригонометрических функций. Найти соответствующую функцию распределения.

161. Пусть случайная величина X имеет плотность распределения . Чему равна вероятность того, что данная случайная величина примет значение, лежащее на интервале (0,1)?

Решение. Искомая вероятность Р (0 < х < 1) может быть найдена с помощью выражения (1.29):

В нашем случае

(здесь произведена замена переменного t = —x²).