§ 7. Вероятнейшее число появлений события в схеме бернулли

Вероятнейшим числом появлений события при многократных ис­пытаниях (k₀) называется число, соответствующее наибольшей при данных условиях вероятности. В обычном смысле — это наиболее возможное число.

В математическом смысле число k₀ отвечает условиям:

p_n (k₀) ≥ p_n(k₀ +1); p_n(k₀) ≥ p_n(k₀ — 1) (1.19)

В теории вероятностей доказывается, что условия будут соблюде­ны, если

пр — q < k₀ < пр + р; (1.20)

отметим, что так как разность пр + р - (пр - q) = р + q = 1, то всегда существует целое число k₀, удовлетворяющее написанному выше двойному неравенству. При этом, если пр + р - число целое, то вероятнейших чисел два: пр - q и пр + р. В условии задачи 1.116 имеем:

4 * 0,33 - 0,67 ≤ k₀ ≤ 4 * 0,33 + 0,33,

или 0,65 ≤ k₀ ≤ 1,65, откуда k₀ = 1.

Следует заметить, что левая и правая части неравенства (1.20) раз­личаются на единицу.

1.128. Из многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения дождя 1 июля равна 0,227.Найти вероятнейшее число дней k_a, когда в ближайшие 50 лет 1 июля выпадает дождь.

Решение. По условию задачи п = 50, р = 0,227,

nр – q ≤ к₀ ≤ пр + р,

50*0.227 – 0.773 ≤ к₀ ≤ 50*0.227 + 0.227,

10.5 ≤ к₀ ≤ 11.5,

Следовательно, за ближайшие 50 лет 1 июля наиболее возможное число дождливых дней k₀ = 11.

1.129. Одна величина измеряется 20, а другая 25 раз. Определить вероятней­ шее число k₀ появлений положительной случайной ошибки в каждом случае.

Ответ: 10; 12 или 13.

1.130. Производится 7 испытаний. Вероятность положительного исхода в каждом опыте равна 2/3. Подсчитать вероятнейшее число а положительных исходов и вероятность р_а. .

Ответ:α=5; р_α = 0,307.

1.131. Решить предыдущую задачу, если производится 8 испытаний.

Ответ: а - 5 или 6; р_а = 0,273.

1.132. Сколько надо произвести независимых испытаний появления собы­тия А, чтобы вероятнейшее число осуществления этого события было 450? Вероятность р(А) при каждом испытании равна 2/3.

Ответ: 675.

1.133. Предполагается сделать 400 независимых испытаний осуществления события А. Как велика должна быть постоянная вероятность р(А) при каждом испытании, чтобы вероятнейшее число появления события А было равно 150?

Ответ: 0,375.

1.134. Сколько раз надо подбросить игральную кость, чтобы вероятнейшее число выпадений двойки было равно 32?

Решение. В данном случае р = 1/6, т₀ = 32. Требуется найти число не­зависимых испытаний п. Величины р, q = 1 — р, т₀ и п связаны между собой неравенством nр – q ≤ m₀ ≤ пр + р, откуда

n*1/6 – 5/6 32; n*1/6 + 5/6 ≥ 32

Из первого неравенства n ≤ 197, а из второго п ≥ 191. Таким образом, необходимо провести от 191 до 197 независимых испытаний.

1.135. Вероятность изготовления нестандартной детали р = 0,05. Сколько деталей должно быть в партии, чтобы вероятнейшее число нестандартных дета­лей в ней было равно 63?

Ответ: 1259 ≤ п ≤ 1279.

1.136. Каждая из 6 палочек разламывается на две части - длинную и ко­роткую. Затем 12 полученных обломков п раз объединяются в 6 пар, каждая из которых образует новую палку. Чему равно п, если вероятнейшее число объеди­нений обломков в первоначальном порядке равно 6.

Ответ: 1/1111, 62 369 ≤ п ≤ 72 764.