§ 6. Многократные повторные испытания. Формула бернулли

Если необходимо определить вероятность того, что при независи­мых испытаниях интересующее нас событие появится k раз (много­кратные повторные испытания), то применяют формулу Бернулли

, (1.14)

где p_n(k) — искомая вероятность; С_n^k - число сочетаний из п по k, р^k - вероятность появления события в одном испытании, принимае­мая одинаковой во всех опытах.

Заметим, что есть вероятность того, что событие А появится или 0, или 1, …, или п раз. Но указанное сложное событие есть полная группа, поэтому = 1.

Приведем еще следующие полезные формулы:

1) вероятность того, что событие А появится не менее l раз, т. е. k ≥ l, определится так:

; (1.15)

2) вероятность того, что событие А появится не более l раз, т. е. k ≤ l, будет

(1.16)

При этом легко получить соотношение

(1.17)

Обозначим через A₁ событие, заключающееся в том, что интересую­щее нас событие появится большее число раз, чем противоположное событие, через А₂ - меньшее число раз и через А ₃ - одинаковое число раз (при нечетном п р(А₃) = 0) (например, событие A₁ - гер­бов больше, А ₂ - гербов меньше, А₃ - одинаковое число появления гербов и цифр при п бросании монеты).

Очевидно, имеет место зависимость

р(A₁) + р(A₂) + р(A₃) = 1, (1.18)

причем, если р = 1/2, то р(А₁) = р(А₂).

1.116. По одной и той же мишени в одинаковых условиях производятся независимых выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле р = 0,33 (q = 0,67). Определить вероятность поражения мишени k = 0, 1, 2, 3, 4 раза.

Решение. Так как p_n(k) = C_n^kp^kq^{n - k}, n = 4 , то имеем:

P₄ (0) = C₄⁰ p⁰ q⁴ = 1 * 0.33⁰ * 0.67⁴ = 0,20;

P₄ (1) = C₄¹ p¹ q³ = 1 * 0.33¹ * 0.67³ = 0,40;

P₄ (2) = C₄² p² q² = 1 * 0.33² * 0.67² = 0,29;

P₄ (3) = C₄³ p³ q¹ = 1 * 0.33³ * 0.67¹ = 0,10;

P₄ (4) = C₄⁴ p⁴ q⁰ = 1 * 0.33⁴ * 0.67⁰ = 0,01;

Контроль:

В условии этой задачи вероятность попадания не менее двух раз

р₄ (k ≥ 2) = p₄ (2) + p₄ (3) + p₄ (4) = 0,40;

не более двух раз

p₄ (k ≤ 2) = p₄ (0) + p₄ (1) + p₄ (2) = 0,89

или по формуле (1.17)

Pi(k ≤ 2) =1 + p₄ (2) - p₄ (k ≥ 2) = 1+0,29 —0,40 = 0,89.

Вероятность того, что попаданий больше, чем промахов, р(А₁) = p₄(3) + р₄(4) = 0,11; одинаковое число промахов и попаданий р(А₃) = р₄(2) = 0,29.

Очевидно, что р(А₂) = р₄(0) + р₄(1) = 0,60 - вероятность того, что попа­даний меньше, чем промахов. Контроль по формуле (1.18):

р(А₁) + р(А₂) + р(A₃) = 0,11 + 0,60 +0,29= 1,00

1.117. Вероятность поражения цели равна 0,35. Для поражения цели не­обходимо одно попадание. Определить вероятность поражения цели при 10 вы­стрелах.

Ответ: 0,9865.

1.118. Вероятность поражения цели равна 0,8. Определить, какова вероят­ность при 10 выстрелах поразить цель 5 раз; не менее 5 раз.

Ответ: 0,0191; 0,8339.

119. Произведено 10 измерений некоторой величины в одинаковых усло­виях. Найти вероятность того, что 5 ошибок будет отрицательных и 5 - поло­жительных; 3 ошибки - отрицательные и 7 - положительных.

120. По условиям задачи 1.119 найти вероятность того, что положитель­ных ошибок будет не менее 5; более 7.

Ответ: 0,499; 0,097.

1.121. Найти вероятность того, что при 10 измерениях число появления от­рицательных ошибок будет находиться в пределах от 0 до 5.

Ответ: 0,499.

1.122. Некоторая величина измеряется 3 раза. Определить вероятность того, что положительная ошибка появится 3 раза; не менее, чем 2 раза.

Ответ: 0,125; 0,375.

1.123. Приняв вероятность рождения мальчика /? = 0,515, найти вероят­ность того, что среди 10 новорожденных будет 4 девочки.

Ответ: 0,217.

1.124. Имеется N лунок, по которым случайным образом разбрасывается М шариков. Найти вероятность того, что в данную лунку попадет ровно k шариков.

Ответ:C_M^k(1/N)^k*((N-1)/N)^M-k.

125. Суд состоит из трех судей. Вероятность вынести справедливое реше­ние каждым судьей одинакова и равна 0,7. Найти вероятность того, что: 1) суд вынесет справедливое решение, 2) несправедливое решение. Сделать контроль решения.

126. Два баскетболиста бросают мяч в корзину с вероятностью попада­ния: первый - 0,7, второй - 0,6. Найти вероятности того, что: 1) первый из них попадет больше раз, чем второй, 2) второй - больше, чем первый, 3) оба попадут одинаковое число раз.

Указание. Для решения задачи составить следующие таблички:

I II I II I II

1 0 0 1 0 0

2 0 0 2 1 1

2 1 1 2 2 2

в которых указаны варианты числа попаданий каждым баскетболистом, которые соответствуют трем поставленным вопросам. Далее следует применить формулу Бернулли для определения вероятности попадания р₂^I(к) и р₂¹¹(к) и теоремы сложения и умножения. Результаты решения задачи должны удовлетворять ус­ловию p₁ + p₂+ p₃ = 1.

1.127. Прибор состоит из пяти узлов. Вероятность выхода за время t из строя каждого узла одинакова и равна р = 0,10 + 0,002i, где i - номер фами­лии студента по списку в журнале. Найти вероятность выхода из строя: 1) к = 0, 1, 2, 3, 4, 5 узлов, 2) хотя бы одного узла, не менее 4 узлов, 3) не более 4 узлов. Вычисление следует сопровождать контролями.