§ 5. Формула полной вероятности (теорема гипотез)

Теорема. Если событие А может осуществиться лишь при ус­ловии появления одного из несовместных событий Н_i (i =1, 2, ..., п), составляющих полную группу (эти события называют гипотезами), то вероятность события А определяется формулой

, (1.12)

т. е. вероятность событий А равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события A, когда верна гипотеза H_i.

1.106. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго - 0,9. Найти вероятность того, что взя­тая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) стандартная.

Решение. Деталь может быть взята из первого или второго набора с рав­ной вероятностью, т. е. p(H_i) = р(Н₂) = 0,5.

Вероятности р(А/Н₁) = 0,8; р(А/Н₂) = 0,9. Поэтому р(А) = 0,5 * 0,8 + 0,5 * 0,9 = 0,85.

1.107. Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод про­изводит 45% общего количества электроламп, второй - 40%, третий - 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго - 80%, третьего - 81%. В магазины поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?

Ответ: 0,7565.

1.108. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 2 нестандартные, во второй 10, из них 1 нестандартная.

Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти ве­роятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стан­дартной.

Решение. Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандарт­ная лампа, р(Н₁) = 0,9, а нестандартная р(Н₂) = 0,1. Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, p(A/H₁) = 19/21. Вероятность того же события при условии справедливости гипотез Н₂ = р(А/Н₂) = 18/21. Искомая вероятность согласно формуле (1.12) р(А) = 9/10*19/21+1/10*18/21 = 0,9.

1.109. В трех урнах находятся белые и черные шары: в первой - 2 белых и 3 черных, во второй - 2 белых и 2 черных, в третьей - 3 белых и 1 черный. Из первой урны переложен шар во вторую. После этого шар из второй урны переложили в третью и, наконец, из третьей в первую. Чему равна вероятность того, что состав шаров во всех урнах не изменился?

Ответ: 0,34.

1.110. Имеется n урн, в каждой из которых а белых шаров и Ь черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар; затем из второй в третью один шар и т. д. Затем из последней урны извлекается один шар. Найти вероят­ность того, что он белый.

Решение. Вероятность события А₂ — извлечения белого шара из второй урны после перекладывания — найдем

P(A₂) = a/(a+b) * (a+1)/(a+b+1) + b/(a+b)*a/(a+b+1) = a/(a+b).

Таким образом, вероятность извлечения белого шара из второй урны после перекладывания будет такая же, как и до перекладывания. Следовательно, тако­ва же будет и вероятность вынуть белый шар из третьей, четвертой и т.д., n-ой урны р(А_п) = а/(а + b).

1.111. Группа студентов состоит из а отличников, b хорошо успевающих и с занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной ве­роятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзаменов вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

Решение. Гипотезы: Н₁ — вызван отличный студент; Н₂ — вызван хороший студент; Н₃ —вызван слабый студент.

p(H₁) = a/(a + b + c); p(H₂) = b/(a + b + c); p(H₃) = c/(a + b + c);

Искомая вероятность равна

p(A) = p(H₁)*1 + p(H₂)*1 + p(H₃)*1/3 = (a+b)/(a + b + c) + 1/3*c/(a + b + c) =(a + b + с)/(a + b + с).

1.112. Имеется п экзаменационных билетов, каждый из которых содержит два вопроса. Экзаменующийся знает ответ не на все 2n вопросов, а только на k < 2n. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса своего билета или на один вопрос из своего билета и на один (по выбору преподавателя ) вопрос из дополнительного билета.

Ответ: p = (k(k-1)/2n(2n -1) )*1 + (2k/2n)*((2n - k)/(2n - 1))* ((k - 1)/(2n – 2)).

Формула Бейеса

Если до опыта вероятности гипотез были р(Н₁), р(Н₂),…, р(Н_п), а в результате опыта появилось событие A, то с учетом этого события «новые», т. е. условные, вероятности гипотез вычисляются по формуле Бейеса

(i = 1,2,…,n). (1.13)

Формула Бейеса дает возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюденного результата опыта.

1.113. Имеются три урны: в первой из них а белых шаров и b черных; во второй с белых шаров и d черных; в третьей k белых шаров (черных нет). Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из первой, второй или третьей урны.

Решение. Решаем задачу по формуле Бейеса.

Гипотезы: Н₁ - выбор первой урны; Н₂ - выбор второй урны; H₃ - выбор третьей урны.

До опыта все гипотезы равновероятны: p(H₁) = р(Н₂) = р(Н₃) = 1/3.

Наблюдалось событие А — появление белого шара. Находим условные ве­роятности:

p(AIH₁) = a/(a+b); p (A/H₂) =c/(c + d); р(A/Я₃) = 1. По формуле Бейеса вероятность того, что шар был вынут из первой урны,

Аналогично,

1.114. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовленных отлично, 4 - хорошо, 2 - посредственно и 1 - плохо. В экзаменационных би­летах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный - на 16, посредственно - на 10, пло­хо - на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных во­ проса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) пло­хо.

О т в е т: a) p(H₁ / A) = 0,58; б) p(H₄ /A) = 0,002.

1.115. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероят­ность попадания у первого охотника равна 0,2, а у второго - 0,6. В результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность того, что промахнулся первый охотник?

Ответ: 6/7.