§ 2. Классическое определение вероятности

С каждым событием связывают понятие вероятности — числовой характеристики объективной возможности появления события. Су­ществуют события, вероятность которых можно определить из усло­вий самого опыта, не производя его. Для этого необходимо, чтобы элементарные события составляли схему случаев. Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события А можно вычислить по фор­муле

(1.1)

где N — общее число случаев, М — число случаев, благоприятству­ющих появлению событий А. Случай называется благоприятствую­щим некоторому событию А, если появление этого случая влечет за собой появление данного события А. Легко видеть, что 0 < р(А) < 1, причем вероятность достоверного события p(U) = 1,.невозможного p(V) = 0.

Определение понятия вероятности на основании формулы (1.1) называют классическим, а вычисление вероятностей событий по этой формуле — непосредственным подсчетом вероятностей.

Применяя формулу (1.1), найдем, что вероятность появления герба при одном бросании монеты p_герба = V₂. Этому же числу равна ве­роятность появления положительной (отрицательной) ошибки при од­ном измерении. Вероятность появления карты бубновой масти при вынимании одной карты из колоды в 36 листов:

Вероятность выпадения грани с цифрой 6 при одном бросании игальной кости р₆ = 1/6.

1.8. Из тщательно перемешанной колоды карт в 36 листов вынимается на­ удачу одна карта. Определить вероятность появления:

а) пиковой дамы,

б) короля,

в) карты бубновой масти,

г) карты черной масти.

О т в е т: а) 1/36; б) 1/9; в) 1/4; г) 1/2.

1.9. Слово «геодезия» составлено из отдельных букв, написанных на одина­ковых карточках. Карточки перевернуты и перемешаны. Найти вероятность то­го, что, взяв наудачу одну из них, откроют карточку с написанной на ней:

1) буквой «г»,

2) гласной буквой,

3) буквой «е».

Ответ: 1) 1/8; 2) 5/8; 3) 2,8.

1.10. Из колоды карт в 52 листа вынимают наугад 10 карт. Затем наудачу одну из вынутых карт открывают. Найти вероятность того, что вскроется туз.

Ответ: 1/13.

1.11. Цифры 1, 2, 3, 4, 5 написаны каждая на отдельной карточке. Все карточки одинаковы. Тщательно перемешав карточки, берут наугад две подряд. Ка­кова вероятность, что составленное из этих цифр в порядке их появления число будет четным?

Ответ: 2/5.

1.12. В урне находится 5 красных, 7 зеленых и 8 белых шаров. Все шары по размерам и массе одинаковы. Шары тщательно перемешивают и наугад вынима­ют один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар будет:

а) красным,

б) зеленым,

в) белым,

г) цветным.

Ответ: а) 1/4; б) 7/20; в) 2/5; г) 3/5.

1.13. Определить вероятность того, что при двух измерениях появится одна положительная ошибка.

Решение. Число всевозможных случаев N = 4: 1) две положительные ошибки, 2) положительная и отрицательная ошибка, 3) отрицательная и положи­тельная ошибка, 4) две отрицательные ошибки. Число благоприятных случаев М = 2. Следовательно, р = 2/4 = 1/2.

Замечание. Известна ошибка Даламбера, который не различал вторую и третью комбинации и принимал М = 3 (в аналогичной задаче с подбрасывани­ем одной монеты).

1.14. В записанном номере телефона оказалась стертой последняя цифра. Какова вероятность того, что, наугад набирая последнюю цифру телефонного номера, можно сразу позвонить нужному лицу?

Ответ: 1/10.

1.15. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей сумма очков окажется равной:

1) четырем,

2) пяти,

3) шести,

4) семи,

5) восьми,

6) девяти,

7) десяти,

8) одиннадцати,

9) двенадцати,

10) двум.

О т в е т: 1) 1/12; 2) 1/9; 3) 5/36; 4) 1/6; 5) 5/36; 6) 1/9; 7) 1/12; 8) 1/18; 9) 1/36; 10) 1/36.

1.16. В урне а белых и b черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Найти вероятность того, что этот шар — белый.

Ответ: a/(a + Ь).

1.17. В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Он оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что и этот шар белый.

Ответ: а - 1/(а + b - 1).

1.18. Из урны, в которой а белых и b черных шаров, вынимают подряд все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар, черный шар, пятый шар будет белым (а ≥ 5).

Ответ: а/(а + b), b/(a + b), a/(a+b).

Для решения более сложных задач необходимы некоторые сведения из комбинаторной математики. Приведем их. Существуют следующие виды комбинаций из п элементов а, Ь, с, ...

1. Перестановки — такие комбинации из п элементов, которые раз­личаются лишь порядком расположения в них элементов. Число пере­становок определяется формулой р_п = n!

2. Размещения из п элементов по k элементов — такие комбина­ции, которые различаются как порядком элементов, так и самими элементами; например, размещениями из трех элементов а, Ь, с по два будут

(ab); (ас); (be);

{ba); (ca); (cb).

Их число

3. Сочетания из п элементов по k элементов — такие комбинации, которые различаются только самими элементами; например, сочетаниями из трех элементов а, Ь, с по два будут ab, bc и ас. Их число

при этом имеют место свойства:

Решим несколько типовых задач.

1.19. На четырех карточках написаны буквы: «с», «т», «о», «л». Карточки перемешивают, вынимают наугад по одной, раскладывая их в порядке появле­ния. Найти вероятность того, что составится слово «стол».

Решение. Так как число благоприятствующих случаев М = 1, а число всех случаев N = p₄ = 4! , то искомая вероятность p_стол = 1/4! = 1/24.

20. В условиях задачи 1.19 найти вероятность составления слова «лот», если вынимать три карточки.

Решение. Число благоприятствующих случаев М = 1, число всех случаев N = A₄³. Поэтому р_лот = 1\ A₄³ = 1/4! = 1/24.

1.21. В условиях задач (1.19) и (1.20) найти вероятность появления того же слова, если карточки разрешается раскладывать не в порядке их появления.

Решение. Так как порядок расположения элементов здесь безразличен, то мы имеем число всех случаев N = С₄³. Поэтому

1.22. Определить вероятность того, что наугад расставленные на шахматной доске 8 ладей не будут бить друг друга.

Решение. Число всех способов, которыми можно расставить ладьи на шахматной доске, равно С₆₄⁸ (если бы это были не ладьи, а 8 различных фигур, то число способов было бы равно A₆₄⁸). Число благоприятствующих случаев, оче­видно, равно p₈ = 8! Поэтому искомая вероятность

1.23. В урне находятся а белых и b черных шаров. Из урны вынимают два шара. Най­ти вероятность того, что оба шара будут белые.

Ответ: p=C_a²/C_a+b².

1.24. Найти вероятность того, что, вынимая из колоды карт в 52 листа три карты, получим раскладку: «тройка, семерка, туз».

Решение. Число всех случаев будет равно N = А₅₂³, число благоприятствующих случаев М = С₄¹*С₄¹*С₄¹=4³. Поэтому p(A) = 4³/A₅₂³

порядок расположения карт был безразличен, то тогда р(А) = 4³/A₅₂³; если бы порядок карт был безразличен, то тогда р(А) = 4³/A₅₂³ ~ 0,0029.

Часто встречаются еще следующие виды комбинаций:

Перестановки с повторениями — такие комбинации из п элементов, среди которых имеется ni (i = 1,2, … k) элементов k видов. Их число

; .

1.25. На карточках написаны буквы: «з», «а», «к», «а», «з». Найти вероят­ность того, что, вынимая наугад по одной из карточек и раскладывая их в поряд­ке появления, получим слово «заказ».

Ответ: p_заказ=1:(5!/2!2!1!)=1/30.

Размещения с повторениями — комбинации из элементов S видов по k. Их число А_S^k = S^k.

1.26. Производят три измерения. Найти вероятность того, что эти измерения будут содержать две положительные ошибки.

Решение. Число благоприятствующих случаев М = С₃², число всех случаев N = А₂³ = 2³ = 8. Поэтому р = С₃²/2³ = 3/8.

1.27. В условиях задачи 1.19 найти вероятность появления слова «лот», если карточки возвращаются обратно.

Решение. Число благоприятствующих случаев составит N = A₄³ = 4³. Поэтому p_лот = 1/4³.

1.28. Состоящее из пяти букв «тайное слово» секретного замка набирается с помощью одного диска, на котором нанесено 10 букв. Чему равна вероят­ность открытия замка с первой попытки человеком, не знающим этого слова.

Решение. Так как число благоприятствующих случаев М = 1, а число всех случаев равно N = A₁₀⁵, то искомая вероятность р = 1/ A₁₀⁵ = 1/10⁵ = 0.00001.

1.29. В урне находятся 10 шаров: 3 красных и 7 синих. Найти вероятность того, что, вынимая одновременно 2 шара, достанут оба синих.

Решение. Число всех равновозможных случаев вынуть пары шаров определяется числом сочетаний из 10 по 2, т. е. п = С₁₀² = 10 * 9/1 * 2 = 45.

Число благоприятствующих случаев определяется числом сочетаний из 7 синих шаров по два m = 7 * 6/1 * 2 = 21.

Следовательно, р = 21/45 = 7/15 = 0,467.

1.30. Из тщательно перетасованной колоды карт в 36 листов вынимают одновременно две карты. Определить вероятность появления:

а) дамы и короля треф,

б) дамы и короля любой одной масти,

в) дамы и короля разных мастей.

Ответ: а) 1/650; б) 27315; в) 2/105.

1.31. В урне находится 5 шаров: 2 красных и 3 синих. Какова вероятность того, что, вынимая сразу 2 шара, достанут оба красных?

Ответ: 1/10.

1.32. Каждая из букв «в», «я», «н», «е», «к», «а», «з» написана на отдельной карточке. Карточки перемешивают, вынимают наугад по одной и раскладывают в порядке их появления. Определить вероятность того, что составится слово «невязка».

Ответ: 1/5040.

1.33. По условиям задачи 1.32 найти вероятность того, что из первых трех карточек составится слово «век».

Ответ: 1/210.

Те же условия, но карточки разрешается раскладывать не обязательно в по­рядке их появления.

От в е т: 1/35.

1.34. В урне а белых и b черных шаров (а > 2). Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение. Общее число случаев

Число благоприятных случаев М = С_a² = а(а — 1)/1 * 2. Вероятность события А (два белых шара) равна:

1.35. В партии, состоящей из k изделий, имеется l дефектных. Из партии выбирается для контроля r изделий. Найти вероятность р того, что из них ровно S изделий будут дефектными.

Ответ: p = C_l^S*C_k-l^r-S/C_k^r.

1.36. Найти вероятность выигрыша в спортлото (угадать к = 4, 5 или 6 но­меров, если из 49 номеров в карточке зачеркивать 6 номеров).

Ответ: p = C₆^k*C₄₃^6-k/C₄₉⁶.

1.37. Из урны, содержащей п перенумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку: 1, 2, .... п.

Ответ: 1/n!

1.38. Та же урна, что и в предыдущей задаче, но каждый шар после выни­мания вкладывается обратно и перемешивается с другими, а его номер записы­вается. Найти вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров: 1, 2, .... п.

Ответ: 1/пⁿ.

1.39. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятности следующих событий:

А — в каждой из пачек окажется по два туза;

В — в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой — все четыре;

С — в одной из пачек будет один туз, а в другой — три.

Решение. Общее число случаев n = С₅₂²⁶. Число благоприятных собы­тию А случаев т = C₄²*C₄₈²⁴.

p(А)= C₄²*C₄₈²⁴/ C₅₂²⁶ = 0,390.

Событие В может осуществиться двумя способами: либо в первой пачке будут все четыре туза, а во второй — ни одного, либо наоборот

р(В) = 2C₄⁴* C₄₈²²*C₄₈²²/ C₅₂²⁶ = 0,110.

Аналогично

p(C) = 2C₄³*C₄₈²³/ C₅₂²⁶ = 0,499.

1.40. На пяти карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Две из них, одну за другой, вынимают. Найти вероятность того, что число на второй карточке бу­дет больше, чем на первой.

Решение. Опыт имеет два возможных исхода:

А — второе число больше первого,

В — второе число меньше первого.

Так как условия опыта симметричны относительно А и В, то р = 1/2.

1.41. Тот же вопрос, что и в задаче 1.40, но первая карточка кладется обрат­ но и смешивается с остальными, а стоящее на ней число записывается.

Решение. Возможно три исхода:

А — второе число больше первого,

В — второе число меньше первого,

С — второе число равно первому.

Всего возможно A₅² = 25 случаев; из них пять

1,1; 2,2; ...; 5,5

благоприятны событию С, а остальные 20 поровну делятся на благоприятные со­бытиям А и В. Поэтому р(А) = р(В) = 10/25 = 2/5.

1.42. N человек случайным образом рассаживаются за круглым столом (N >2). Найти вероятность р того, что два фиксированных лица окажутся рядом.

Решение. Число случаев п = N!, число благоприятных случаев т =2N, так как всего пар соседних мест N, а на каждой паре соседних мест лиц А и В можно рассадить двумя способами:

р = 2N/N! =2/(N - 1)!

1.43. Та же задача, но стол прямоугольный, и N человек рассаживаются случайно вдоль одной из его сторон.

Ответ: р = 2(N — 1)/N!

1.44. В урне находится 5 красных, 3 синих и 2 зеленых шара. Перемешав их, вынимают 2 шара. Какова вероятность, что оба вынутых шара будут одного цвета.

Ответ: (С₃² + C₅² + C₂²)/C₁₀² = 14/45.

1.45. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Найти вероят­ность, что в нем:

1) все цифры различные,

2) все цифры нечетные,

3) все цифры кратны трем.

Ответ:

1.46. Измеряют угол между направлениями на две марки: А и В. На марку А видимость постоянная. Видимость на марку В периодически закрывается проходящим поездом, при этом промежутки видимости и невидимости одинаковы и сос­тавляют 3 мин. Время визирования на каждую мерку с выполнением необходимых отсчетов составляет 1 мин. Какова вероятность того, что, визируя в произвольный момент времени первоначально на марку А, наблюдатель завершит измерение угла до закрытия видимости на марку В.

Ответ: 1/3.