§ 15. Математическое ожидание, дисперсия и корреляционная матрица функций случайных величин

Рассмотрим сначала произвольную функцию

F = f(X₁, X₂,...,Х_п), (1.106)

аргументами которой являются случайные величины Х₁, Х₂,..., Х_п. Будем полагать, что эта функция «почти линейная», если во всем диа­пазоне практически возможных значений аргументов она может быть с достаточной для практики точностью линеаризована. Это оз­начает, что

где

- значение частной производной, вычисленной по значению X,-, совпадающему с его математическим ожиданием.

Если математические ожидания неизвестны, то вместо них можно использовать приближенные значения , близкие к , например, значения X_i, полученные в результате измерений.

Математическое ожидание почти линейной функции вычисляется по формуле

(1.107)

а дисперсия

(1.108)

где - дисперсия случайной величины , - корреляци­онный момент величин X_i, X_j.

Когда случайные величины X_i и X_j некоррелированы,

(1.109)

Следует отметить, что формулы (1.107), (1.108) и (1.109) будут совершенно точными, когда функция Y линейна. Для нелинейных функций они являются приближенными и тем более точными, чем бли­же функция к линейной.

Например, для нелинейной функции и = XY, применяя формулу (1.107), получим М_и = М_ХМ_Y. Однако из формулы (1.98) следует, что если случайные величины X и Y коррелированны, то

M_XY = М_хМ_у + K_xy (1.109')

Следовательно, из-за того, что при линеаризации функции (1.106) опущены все нелинейные члены разложения, было утеряно второе слагаемое в формуле (1.109).

Существуют формулы, позволяющие уточнить результаты, полу­ченные методом линеаризации.

Рассмотрим теперь систему нескольких функций

(1.110)

Объект φ(Х) называют вектор - функцией. Ясно, что формула (1.106) является частным случаем формулы (1.110) при т = 1. В этом случае математическое ожидание

(1.111)

а корреляционная матрица

(1.112)

где матрица определяется следующим образом:

(1.113)

т. е. каждая ее i - я строка содержит элементы, равные частным произ­водным i - й функции по аргументу.

Отметим, что выражения (1.107) и (1.109) являются частными слу­чаями формул (1.111) и (1.112) соответственно, когда имеется лишь одна функция (тогда ) и когда аргументы некоррелированы.

Для линейных функций вида Y = АХ + b, как частный случай получаем M_Y = АМ_Х + b, а корреляционная матрица K_Y опре­деляется также согласно формуле (1.112).

1.234. Имеются две случайные величины X и Y, связанные соотношением Y = 2 - 3Х. Числовые характеристики величины X заданы: М_х = -1; D_x = 4.

Определить: а) математическое ожидание и дисперсию величины Y; б) кор­реляционный момент и коэффициент корреляции величин X, Y.

Решение.

а) М_х = 2 - 3M_х = 5, D_Y = (-3)²4 = 36;

б) K_XY = М[ХY] — М_ХМ_Y = М[Х(2 — 3Х)] + 1 * 5 = 2М_Х — З М[Х²] + 5.

Но М [Х²] = a₂[Х] = D_x + М²_х =4+1 = 5.

Поэтому K_XY = - 2 - 3 - 5+5= - 12; r_XY = -1.

1.235. Имеется случайная величина X с математическим ожиданием М_х и дисперсией D_x . Найти математическое ожидание и дисперсию следующих случайных величин:

Y = —X; Z = X + 2Y - 1; и = 3Х — Y + 2Z - 3.

Ответ: M_Y = — М_х; D_Y = D_x; М _z = - M_Х - 1; D_z = D_x; М_и = 2М_Х - 5; D_u = 4D_X.

1.236. Дана система случайных величин (X, У, Z) с заданными характеристиками: математическими ожиданиями М_х, M_Y, М _z и корреляционной матри­цей

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

и = аХ - bY + cZ — d.

Ответ:

1.237. Даны функции

Y₁ = X₁ + X₂; Y₂ = X₁ + X₃

трех независимых случайных величин X_l, X₂, X₃, имеющих дисперсионную мат­рицу

Найти корреляционную матрицу системы случайных величин Y₁ и Y₂ и коэф­фициент корреляции .

Решение. Имея в виду применить формулу (1.112), составляем матрицу

и согласно формуле (1.112) находим

коэффициент корреляции .

238. В условиях предыдущей задачи найти дисперсию функции Z = Y₁ – Y₂.

Решение.

1-й способ. Применяя формулу (1.112), получим

2-й способ. Применяем формулу (1.108):

3-й способ. Выразим функцию Z через независимые случайные величины X_i. Будем иметь Z = Y₁ — Y₂ = Х₂ — Х₃ . Применяя формулу (1.109), получим

1.239. Найти корреляционную матрицу и коэффициент корреляции двух уг­лов, измеренных способом круговых приемов (см. задачу 1.226). Найти дисперсию угла у₃ = y₁ + у₂ , а также корреляционную матрицу углов.

Ответ:

1.240. Найти общее выражение корреляционной матрицы приращений ко­ординат

а также вычислить ее элементы при S = 200 м, σ_S = 1 см, σ_а = 3", а = 0°, 45°, 90°.

Ответ:

1.241. Найти дисперсии следующих функций:

1.

2.

3.

если корреляционная матрица вектора z имеет вид

.

1.242. Найти математические ожидания и корреляционную матрицу раз­ностей d = х₁ - х₂ и среднего значения для случайных величин, если

Решение.

Применяя формулу (1.112), получаем

Отсюда следует, что

1.243. Найти математическое ожидание и дисперсию невязки ω угломерно­го хода, содержащего п углов, если углы измеряются без систематической ошибки с с. к. о. σ_i = а.

Ответ:

1.244. Сделать то же самое, если каждый угол X_i измеряется с систематичес­кой ошибкой, равной с.

Ответ: M_ω = cn , σ²_ω = σ²n.

1.245. Случайные величины X н Y представляют собой элементарные ошиб­ки, возникающие на входе прибора. Они имеют математические ожидания М_х = - 2 и M_Y = 4, дисперсии D_x = 4 и D_x = 9; коэффициент корреляции этих ошибок равен r_XY = - 0,5. Ошибка на выходе прибора связана с ошибками на входе функциональной зависимостью

Z = 3X² - 2XY + Y² - 3.

Найти математическое ожидание ошибки на выходе прибора.

Ответ: M_z = 68.

1.246. Ошибка прибора выражается функцией и = 3Z + 2Х - X - 4, где X, Y, Z — так называемые «первичные ошибки», представляющие собой сис­тему случайных величин (случайный вектор).

Случайный вектор (X, Y, Z) характеризуется математическими ожидания­ми М_X = - 4, М_Y = М_Z = 1 и корреляционной матрицей

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое от­клонение ошибки прибора.

Ответ: М_и = - 10, σ_u² = 25, σ_u = 5.

1.247. Доказать, что дисперсия произведения двух некоррелированных случайных величин X и Y выражается формулой

Получить формулу для вычисления дисперсии этой же функции (Z = XY) согласно формуле (1.109). Объяснить расхождение результатов.

Для оценки точности нелинейных функций применяют метод численного дифференцирования. З.М. Юршанским предложена приближенная формула [12]:

в которой величины q_i определяются как разности

a K_ij - элементы i-й строки корреляционной матрицы К_х причем К_ii = σ². Для некоррелированных аргументов К_у = 0. Например, рассмотрим функцию

(расстояние от начала координат). Корреляционная матрица аргументов пусть будет

При X = 100 и Y = 200 м найдём

Следует заметить, что все вычисления необходимо выполнять с помощью микрокалькуляторов.

Решая эту же задачу по формуле (1.112), находим частные производные dS/dX = cosa и dS/dY = sina. Матрица А = (cosa sina) =(0,8944 0,4472) и дисперсия σ² = АК_XА^{Т =} 0,024 м.

Возможен и другой путь решения задачи. Так, в работе [14] предлагается вычислить честные производные по приближенной формуле

Тогда для дисперсии функции справедливо выражение

в случае некоррелированных и

в случае коррелированных аргументов. Здесь коэффициент корреляции r_ij = K_ij/σ_iσ_j. Так, в нашей задаче