Часть I. Теория ошибок измерений

Глава 1. Элементы теории вероятностей

§ 1. События и их виды. Схема случаев

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая коли­чественные закономерности случайных явлений.

Случайное явление — это явление, которое при неоднократном воспроизве­дении одного и того же опыта, наблюдения протекает каждый раз несколько по-иному.

Однако в массовом проявлении случайные явления обнаруживают некоторую закономерность (примерно одинаковое число выпадений гербов и цифр при бросании монеты, более частое попадание в цент­ральную часть мишени, чем на ее края, и т. д.).

Результат каждого отдельного наблюдения, опыта, испытания на­зовем событием (например, при подбрасывании монеты могут проис­ходить два события: появление герба, появление цифры). События ус­ловно можно разделить на элементарные, которые нельзя разложить на более простые, и сложные, состоящие из двух или более элементар­ных событий (пример: появление положительной ошибки при одном измерении — элементарное событие, появление пяти положительных ошибок при 10 измерениях — сложное событие). При выполнении определенного комплекса условий различают события следующих видов:

1. достоверные, т. е. такие, которые обязательно происходят (по­явление герба или цифры при бросании монеты);

2. невозможные, которые никогда не происходят (появление белого шара при взятии из урны, где лежат только черные шары);

3. несовместные, которые не могут произойти вместе (появление герба и цифры при одном бросании монеты);

4. совместные, которые могут происходить одновременно (появле­ние герба и цифры при бросании двух монет);

5. полная группа событий, которую образуют такие события, одно из которых при испытании обязательно происходит. Полная груп­па — достоверное событие (например, выпадение одной из граней при бросании игральной кости);

6. противоположные события — два несовместных события, об­разующих полную группу;

7. равновозможные события — события, имеющие одинаковую объ­ективную возможность появления;

независимые события — события, имеющие возможность появления, не зависящую от того, появились или не появились другие со­бытия. Например, выпадение герба в i - м бросании монеты не зависит от того, какая ее сторона выпала в предыдущих i - 1 бросаниях;

9) зависимые события — такие, у которых эта возможность зави­сит от того, произошли или не произошли другие события (например, возможность вынуть один шар из урны, содержащей я шаров, если уже вынули k шаров и шары обратно не возвращали).

События обычно обозначают заглавными буквами латинского ал­фавита: А, В, С, ... или А_и А₂, ..., А_п.

Достоверное событие обозначают буквой U, невозможное - бук­вой V, противоположное по отношению к событию А – через .

Можно привести взаимосвязи событий в виде следующих схем:

Если несколько событий образуют полную группу, несовместны и равновозможны, то они называются случаями (шансами). Говорят, что в этом случае опыт сводится к схеме случаев.

1.1. Являются ли несовместными следующие события:

а) опыт — бросание монеты;

события: А₁ — появление герба, A₂ — появление цифры;

б) опыт — бросание двух монет;

события: В₁ — появление герба на первой монете, В₂ — появление цифры на вто­рой монете;

в) опыт — два выстрела по мишени;

события: С₁ — ни одного попадания, С₂ — одно попадание, Сз — два попадания;

г) опыт — два выстрела по мишени;

события: D₁ — хотя бы одно попадание, D₂ — хотя бы один промах;

д) опыт — вынимание двух карт из колоды;

события: Е₁ — появление двух черных карт, Е₂ — появление туза, Е₃ — появление дамы?

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет.

2. Являются ли равновозможными следующие события:

а) опыт — бросание симметричной монеты;

события: A₁ — появление герба, A₂ — появление цифры;

б) опыт — бросание неправильной (погнутой) монеты;

события: В₁ — появление герба, В₂ — появление цифры;

в) опыт — выстрел по мишени;

со­бытия: С₁ — попадание, С₂ — промах;

г) опыт — бросание двух монет;

со­бытия: D₁ — появление двух гербов, D₂ — появление двух цифр, D₃ — появление одного герба и одной цифры;

д) опыт — вынимание одной карты из колоды;

события: Е₁ — появление карты червонной масти, E₂ — появление карты бубновой масти, Е₃ — появление карты трефовой масти;

е) опыт — бросание игральной кос­ти;

события: F₁ — появление не менее трёх очков, F₂ — появление не более четырех очков?

Ответ: а) да; б) нет; в) в общем случае нет; г) нет; д) да; е) да.

1.3. Образуют ли полную группу следующие группы событий:

а) опыт — бросание монеты;

события: А₁ — появление герба, А₂ — появление цифры;

б) опыт — бросание двух монет;

со­бытия: В₁ — появление двух гербов, В₂ — появление двух цифр;

в) опыт — два выстрела по мишени;

события: А₁ — ни одного попадания, А₂ — одно попадание, А₃ — два попадания;

г) опыт — два выстрела по мишени; события: С₁ — хотя бы одно попадание, С₂ — хотя бы один промах;

д) опыт — вынимание карты из ко­лоды;

события: D₁ — появление карты червовой масти, D₂ — появление карты бубновой масти, D₃ — появление карты трефовой масти?

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет.

1.4. Являются ли случаями следующие группы событий:

а) опыт — бросание монеты;

события: A₁ — появление герба, А₂ — появление цифры;

б) опыт — бросание двух монет;

со­бытия: В₁ — появление двух гербов, В₂ — появление двух цифр, В₃ — появление одного герба и одной цифры;

в) опыт — бросание игральной кос­ти;

события: С₁ — появление не более двух очков, С₂ — появление трех или четы­рех очков, С₃ — появление не менее пяти очков;

г) опыт — выстрел по мишени;

со­бытия: D₁ — попадание, D₂ — промах;

д) опыт — два выстрела по мишени; события: Е₁ — ни одного попадания, E₂ — одно попадание, E₃ — два попадания;

е)опыт — вынимание двух карт из колоды;

события: F₁ — появление двух карт крас­ной масти, F₂ — появление двух карт черной масти?

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет; е) нет.

1.5. Указать, какое событие будет противоположно следующему событию:

а) попадание в цель при одиночном выстреле;

б) поражение цели два раза при трех одиночных выстрелах.

1.6. Привести примеры:

а) трех событий, образующих схему случаев;

б) трех событий, равновозможных и несовместных, но не образующих пол­ной группы;

в) двух событий, равновозможных и образующих полную группу, но сов­местных;

г) двух событий, несовместных и образующих полную группу, но не равновозможных.

1.7. Зависимы ли следующие события:

а) появление герба или цифры при одном бросании монеты;

б) появление двух или трех очков при одном бросании игральной кости;

в) выпадение герба или цифры при бросании двух монет на каждой из них;

г) появление туза или карты бубновой масти из колоды карт?

Ответ: а) да, б) да; в) нет; г) да.