35

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет радиофизики и электроники

Кафедра радиофизики

Лабораторная работа изучение основных свойств и параметров цифровых фильтров Минск 2005

1. Аналоговые низкочастотные фильтры-прототипы

Фильтр нижних частот представляет собой устройство, которое пропускает сигналы низких частот и задерживает сигналы высоких частот. В общем случае определим полосу пропускания как интервал частот 0<<_с, полосу задерживания как частоты >_с, переходную область как диапазон частот _с<<₁ (_с – частота среза). Эти частоты обозначены на рис. 1, на котором приведена реальная амплитудно-частотная характеристика фильтра нижних частот, где в данном случае заштрихованные области представляют собой допустимые отклонения характеристики в полосе пропускания и задерживания.

Рис. 1. Реальная амплитудно-час­тот­ная характеристика фильтра нижних частот.	Рис 2. Логарифмическая характеристика фильтра нижних частот.

Если минимальное затухание выбрать за нормированный уровень 0 (А=1 на рис. 1), то логарифмическая характеристика фильтра нижних частот имеет вид, изображенный на рис. 2. Максимальное затухание в децибелах в полосе пропускания составляет ₁, а минимальное затухание в полосе задерживания ₂ (А₁ и А₂ – соответственно значения амплитудно-частотной характеристики). Затухание ₁ не может превышать 3 дБ, в то время как типовое значение ₂ значительно больше и может находиться в пределах 20₂100 дБ (в этом случае имеем 0,1А₂0,00001).

Коэффициент усиления фильтра нижних частот представляет собой значение его передаточной функции при s=0 или, что эквивалентно, значение его амплитудно-частотной характеристики на частоте =0. Следовательно, коэффициент усиления реального фильтра с амплитудно-частотной характеристикой, показанной на риc. 1, равен А.

Существует много типов фильтров нижних частот, удовлетворяющих данному набору технических требований, таких, как А₁, А₂, _с, ₁, обозначенных на рис. 1, или ₁, ₂, _с, ₁ – на рис. 2. Фильтры Баттерворта, Чебышева, инверсные Чебышева и эллиптические образуют четыре наиболее известных класса. Фильтр Баттерворта обладает монотонной характеристикой, подобной характеристике на рис. 1 и рис. 2. (Характеристика является монотонно спадающей, если она никогда не возрастает с увеличением частоты.) Характеристика фильтра Чебышева содержит пульсации (колебания передачи) в полосе пропуска­ния и монотонна в полосе задерживания. На рис. 3 изображен вид характеристики фильтра Чебышева шестого порядка. Инверсная характеристика фильтра Чебышева монотонна в полосе пропускания и обладает пульсациями в полосе задерживания. Пример характеристики фильт­ра шестого порядка приведен на рис. 4.

Рис. 3. Амплитудно-частотная ха­рактеристика фильтра Чебышева шес­того порядка.	Рис. 4. Амплитудно-частотная ха­рак­теристика инверсного фильтра Че­бы­шева шестого порядка.

1.1. Фильтры Баттерворта

Вероятно, наиболее простая амплитудно-частотная характеристика фильтра нижних частот у фильтра Баттерворта, которая в случае n-го порядка определяется следующим образом:

, (n=1,2,3…).

(1)

Эта характеристика фильтра Баттерворта монотонно спадает (никогда не возрастает) при увеличении частоты. Увеличение порядка также приводит к улучшению характеристики.

Фильтр Баттерворта представляет собой полиномиальный фильтр и в общем случае обладает передаточной функцие й вида:

(2)

где К – постоянное число. Для нормированного фильтра, т. е. при _с=1 рад/с, передаточную функцию можно записать в виде произведения сомножителей для n=2, 4, 6 ... как

,

(3)

или для n=3, 5, 7, ... как

(4)

Чем выше порядок фильтров, тем лучше их амплитудно-частотная характеристика. Однако более высокий порядок усложняет схемную реализацию и вследствие этого повышает стоимость. Таким образом, для разработчика представляет интерес выбор минимально необходимого порядка фильтра удовлетворяющего заданным требованиям.

Другими словами, предположим, что в изображенной на рис. 2 общей характеристике заданы максимально допустимое затухание в полосе пропускания ₁ (дБ), минимально допустимое затухание в полосе задерживания ₂ (дБ), частота среза _с (рад/с) или f_с (Гц) и максимальная допустимая ширина переходной области TW, которая определяется следующим образом

TW=1–2.

(5)

(Следовательно, полоса задерживания должна начинаться с некоторой частоты ₂₁.) Задача состоит в нахождении минимального порядка n, который будет удовлетворять всем этим условиям.

Для фильтра Баттерворта минимальный порядок можно определить, подставив приведенные выше условия в (1) и решив его относительно порядка n. В результате получаем

(6)

Уравнение (5) можно записать в виде

1/с=(TW/c)+1,

(7)

и полученное соотношение подставить в (6) для нахождения зависимости порядка n от ширины переходной области, а не от частоты ₁. Параметр TW/_c называется нормированной шириной переходной области и является без­размерной величиной. Следовательно, ТW и _c можно задавать и в радианах на секунду, и в герцах.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта наиболее плоская около частоты =0 по сравнению с характеристикой любого полиномиального фильтра n-го порядка и вследствие этого называется максимально плоской. Следовательно, для диапазона низких частот характеристика фильтра Баттерворта наилучшим образом аппроксимирует идеальную характеристику. Однако для частот, расположенных около точки среза и в полосе задерживания, характеристика фильтра Баттерворта заметно уступает характеристике Чебышева, который рассматривается ниже.

Однако фазочастотная характеристика фильтра Баттерворта лучше (более близка к линейной), чем соответствующие фазочастотные характеристики фильтров Чебышева, инверсных Чебышева и эллиптических сравнимого порядка. Это согласуется с общим правилом для фильтров данного типа – чем лучше амплитудно-частотная характеристика, тем хуже фазочастотная, и наоборот.

1.2. Фильтры Чебышева

Фильтр Чебышева обладает амплитудно-частотной характеристикой, которая определяется следующим образом:

, (n=1, 2, 3...).

(8)

Параметры  и К – постоянные числа, а С_n является полиномом Чебышева первого рода степени n и имеет вид:

Cn(x)=cos(narcos(x)).

(9)

Амплитудно-частотная характеристика достигает своего наибольшего значения К в тех точках, где С_n равно нулю. Поскольку эти точки распределены по полосе пропускания, то характеристика фильтра Чебышева содержит пульсации в полосе пропускания и монотонна в других областях. Размах этих пульсаций определяет параметр  , а их число степень n. Коэффициент усиления фильтра определяется значением К.

Фильтр Чебышева иногда называют равноволновым фильтром, поскольку все пульсации равны по значению. Для К=1, т.е. на рис. 3 A=1, размах пульсаций RW=AA₁ для фильтра Чебышева будет равен

.

(10)

Таким образом, как угодно можно уменьшить RW, выбрав значение параметра  достаточно малым.

Минимально допустимое затухание в полосе пропускания – постоянный размах пульсаций, часто выражается в децибелах как

,

(11)

и может использоваться как характеристика фильтра Чебышева. Например, фильтр с неравномерностью передачи 1/2 дБ обладает таким значением , что =1/2 (это дает =0,3493). В общем случае, решая уравнение (11) относительно , можно получить

.

(12)

Наибольшим допустимым размахом пульсаций обладает фильтр Чебышева с неравномерностью передачи 3 дБ, для которого в (11) =1 (если говорить более точно, то необходимо иметь значение =0,99763, поскольку 1оg₁₀(2) не равен точно 0,3).

По амплитудно-частотной характеристике на рис. 1 определяем А=1, а . Для данного случая также можно точно определить А₂, которое установило бы значение частоты ₁. Частота _c=1 рад/с представляет собой точку среза или граничную точку полосы частот с пульсациями. Если интересуются значением частоты _3дБ ,т. е. точкой, в которой характеристика спадает на 3 дБ, то получают:

.

(13)

Следует отметить, что _c=_3дБ если =1, и в этом случае получаем фильтр Чебышева с неравномерностью передачи 3 дБ.

На основе (8) для К=1 найдем минимальный порядок фильтра Чебышева:

.

(14)

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева данного порядка лучше амплитудно-частотной характеристики Баттерворта, так как у фильтра Чебышева уже ширина переходной области. Однако фазочастотная характеристика фильтра Чебышева хуже (более нелинейна) по сравнению с фазочастотной характеристикой фильтра Баттерворта. Фазочастотные характеристики фильтра Чебышева для 2–7-го порядков приведены на рис. 5. Для сравнения на рис. 5 штриховой линией изображена фазочастотная характеристика фильтра Баттерворта шестого порядка. Можно также отметить, что фазочастотные характеристики фильтров Чебышева высокого порядка хуже фазочастотных характеристик фильтров более низкого порядка. Это согласуется с тем фактом, что амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева высокого порядка лучше амплитудно-частотной характеристики фильтра более низкого порядка.

Рис. 5. Фазочастотные характеристики фильтров Баттерворта и Чебышева.

1.3. Эллиптические фильтры

Эллиптический фильтр имеет амплитудно-частотную характеристику, которая содержит пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания и является лучшим среди всех фильтров нижних частот в том смысле, что для заданного порядка и допустимых отклонений характеристик в полосах пропускания и задерживания обладает самой узкой шириной переходной области. Пример амплитудно-частотной характеристики эллиптического фильтра пятого порядка изображен на рис. 6.

Рис. 6. Амплитудно-частотная характеристика эллиптического фильтра нижних частот для случая n=5.

Пульсации в полосе пропускания равны по значению и могут характеризоваться максимальным допустимым затуханием в полосе задерживания. Эта величина которую мы также будем называть неравномерностью передачи, в полосе пропускания (РRW), дБ, согласно обозначению на рис. 6 равна:

PRW=–20log10(A1).

(15)

Пульсации в полосе пропускания так же равны по значению (хотя не обязательно равны размаху пульсаций в полосе пропускания) и характеризуются минимальным затуханием в полосе задерживания МSL, дБ, следующим образом:

MSL=–20log10 (A2).

(16)

Ширина переходной области ТW, как и для других типов фильтров, составляет:

TW=1–c.

(17)

Для заданных значений РRW и МSL повышение порядка приводит к увеличению числа пульсаций в полосах пропускания и задерживания и уменьшению TW. Следовательно, можно задать обозначенные на рис. 6 параметры А₁, A₂ и _c и, увеличивая порядок, достичь любого требуемого значения ₁>_c.

В виде произведения сомножителей передаточная функция эллиптическая фильтра нижних частот четного порядка n записывается следующим образом:

,

(18)

а нечетного порядка n

,

(19)

где А₀, с₀, А_i, а_i, b_i, c_i – заданные постоянные числа.

Постоянные параметры а_i, b_i и c_i вычисляются крайне сложно. Этот процесс требует знания эллиптических функций Якоби.