3.3.2. Математическая теория

Каждая строгая математическая теория должна содержать три обязательных раздела.

(1) Язык математической теории.

(2) Аксиомы.

(3) Правила вывода.

Язык содержит описание правил, по которым пишутся тексты данной математической теории. Этот раздел в свою очередь делит­ся на четыре следующие части:

(1.1) Буквы. Это символы, с помощью которых записываются имена объектов (термы).

(1.2) Специальные символы (знаки). Они служат для описания отношений (связей) между термами.

(1.3) Словарь, содержащий имена всех объектов (термов), ко­торые могут быть использованы в данной математической теории.

(1.4) Список соотношений (формулизмы¹). Это записи (фор­мулы, знакосочетания), составленные только из термов, специаль­ных символов и правил их написания.

По аналогии с естественным языком можно сказать, что (1.1) — это алфавит языка; (1.2) — используемые в языке знаки препина­ния; (1.3) — перечень слов, записанных с помощью букв и имею­щих смысл в данном языке; (1.4) — правила, по которым пишутся предложения на данном языке.

Как правило, среди специальных символов математического языка имеется знак отрицания. Это означает, что каждое высказы­вание (соотношение) данного языка вида «А» порождает в нем высказывание вида «не А», т. е. число высказываний (утвержде­ний, формул, соотношений) четно. Отсюда следует, что матема­тический язык сам по себе не содержит ответа па вопрос о том. что такое истина. На этот вопрос, ответ дает второй раздел мате­матической теории.

Второй раздел — аксиомы состоит из следующих двух частей:

(2.1)Явные аксиомы. Это такие соотношения (формулизмы), которые принимаются как истинные высказывания в данной мате­матической теории. Явные аксиомы играют особую роль в мате­матических теориях. Они определяют основной (основные) закон теории. Изменение только одной аксиомы при сохранении осталь­ных составляющих теории (алфавита, специальных символов, сло­варя, соотношений) переводит одну математическую (аксиомати­ческую) теорию в другую. Широко известен пример создания Лобачевским неевклидовой геометрии при замене пятого постулата (аксиомы) на его отрицание. Если математическая теория исполь­зуется в прикладных целях, то аксиомы интерпретируют, в частности, законы сохранения. Буквы (слова), встречающиеся в аксиомах, являются константами.

(2.2) Неявные аксиомы (или схемы аксиом). Каждая такая схема является правилом образования соотношений. Если в явных аксиомах содержатся только константы, определяющие конкретные предметы, свойства которых предполагаются истинными, то в схемах аксиом имеются буквы (слова), не являющиеся константами, т. е. изображающие неопределенный предмет.

Третий раздел—правила вывода содержит описание эквивалентных преобразований соотношений (формулизмов). С помощью этих преобразований с использованием аксиом осуществляется доказательство правильности (истинности) соотношений (утверждений) в рамках данной математической теории. «Истинность» в данном смысле—это только формальная правильность и соответствие выбранной системе аксиом, а не правильность по отношению к процессам реального мира. Поэтому каждая математическая теория настолько полезна, насколько верны заложенные в нее предположения (язык и аксиомы). Соответствие выводов математической теории действительности проверяется только практикой. Степень соответствия определяется глубиной познания законов реального мира и полнотой отражения их в списке аксиом.

Теоремами теории являются соотношения, написанные на ее языке и не противоречащие аксиомам.

При таком построении математической теории существенным является ее схема (язык и аксиомы), а не предметная область. В этом особая ценность такого метода построения математических теорий¹. Для различных областей применения, как математических, так и прикладных, все выводы (теоремы, леммы, следствия, .доказательства) сохраняют справедливость в случае совпадения для них языка и аксиом. Это дает возможность использовать для различных прикладных задач одну и ту же математическую теорию.