3.3. Математика

Развитие математики нельзя определить иначе, как бурное. Роль, которую она играет во всех областях жизни общества, нау­ки, техники, постоянно растет. Вычислительная техника проникла в область обслуживания. Ее интеграция приобрела глобальный эврактер. Вместе с ней математика становится основным инструментом труда и управления. Возникают естественные вопросы: ка кими специфическими свойствами обладает математика? Почему она с успехом используется в различных областях деятельности

3.3.1. Математические объекты

Математика развивается по общим законам познания мира. Ее становление начинается с выявления понятий и их фиксации как абстракций в форме слов, отражающих многократно повторя­ющиеся процессы. Формируется язык математики. Он несет на себе отпечаток главной цели существования математики, которую можно определить как измерения. Областью измерений являются все процессы реальной жизни. Эта цель определяет особенности слов математического языка (математические образы) в отличие от слов естественного языка.

Одной из основных целей естественного языка является накоп­ление знаний о познанных процессах реального мира. Объекты ре­ального мира находятся в состоянии непрерывного движения и из­менения. Каждое слово естественного языка соответствует объекту реального мира. Являясь абстракцией, оно, конкретизируясь, должно отражать движение и изменчивость реального мира. Оно объективно должно формировать в нашем сознании образ изменяющегося объекта, так как в мире нет неизменных предметов. Более того, каждое слово естественного языка субъективно не может нести в себе однозначного смысла. В этом специфика познания мира с помощью коллективного разума и обслуживающего его естественного языка.

Большинство знаний человек получает с помощью естественно­го языка. Этот язык позволяет сформировать в голове собеседника образ предмета., которого собеседник никогда не видел. Формирование образа идет путем конкретизации слова (названия объекта процесса, свойства), при которой мобилизуется запас знаний собе­седника. В зависимости от объема этих знаний в головах у разных людей сформируется разное представление о реальном объекте. Степень различия зависит от того, насколько совпадают запасы знаний различных людей. Если среди них окажется человек, не владеющий данным языком, то слово становится для него пустым звуком.

Рассмотрим для примера слово «дом». Может ли оно строго и однозначно определять один реальный объект? Естественно, не мо­жет и, более того, не должно. Реально у разных людей оно вызо­вет различные образы. Житель села, никогда не видевший и не слышавший о многоэтажных домах, представит деревянное жили­ще. Образ в голове архитектора будет отличен от образа простого городского жителя.

Указанной особенностью обладают все объекты (все слова) естественного языка. Каждый такой объект по мере развития знаний как отдельного человека, так и общества в целом будет напол­няться все новым и новым содержанием. Возникает естественное противоречие между неизменным написанием слова и изменением ассоциированного с этим словом образа. Можно ли использовать такой язык в качестве языка математики? Можно ли ставить за­дачу измерения объекта (процесса, свойства), если мера не опре­делена однозначно? Очевидно, что нельзя.

Математика оперирует только образами, которые имеют непре­ходящий характер. Математическими образами могут быть только такие, которые не допускают двузначного толкования. Это эталон­ные, неизменные объекты, содержание которых остается постоян­ным с момента определения. Текст, написанный с помощью мате­матических образов, не изменяется со временем. Математика—это мир абсолютно неизменных объектов. Ими могут быть абст­рактные математические объекты, как, например, целое число, или конкретные математические объекты, как, например, цифра 2 или число 13. Каждый математический объект (образ) рождается не­случайно. Он проходит тот же путь, что и объекты естественного языка, т. е. от практики (индукции) к абстракции в форме слова. Только в словарь математического языка заносятся лишь те сло­ва, которые обладают свойством неизменности содержания (смыс­ла). Так, изучение движения планет вокруг Солнца позволило от абстракции «траектория движения планеты», относящейся к ес­тественному языку, перейти к объекту «математический эллипс», который является абстракцией математического языка.

Доказанные теоремы как тексты математического языка на­всегда сохраняют свое содержание.

Таким образом, все познанные человечеством объекты (поня­тия, слова) делятся категориальной парой <постоянное-переменное> на две группы:

постоянные объекты (математические или геометрические);

переменные объекты (слова естественного языка).

Постоянные образы позволяют фиксировать в реальном мире ивариантные составляющие (объекты, процессы, свойства), вклю­чая закономерности. Этим свойством объясняется возможность применения математики во всех областях знаний человечества.

Из этого определения следует, что мир математики—это мир объектов, которые обладают уникальным свойством — они тожде­ственны сами себе. Они тождественны как по форме, так и по со­держанию, в то время как объекты естественного языка тождест­венны только по форме.

Слова естественного языка, отражая основное стабильное со­держание, вместе с тем не исключают возможности уточнения их смысла. Более того предполагают такое уточнение, так как в ре­альном мире нет неизменных объектов.

Следующий вопрос заключается в способах использования математических объектов для решения практических задач. Жизненный опыт каждого подсказывает, что есть разные математические теории, изучив которые можно решать различные задачи. Так, есть арифметика, и она позволяет считать; есть алгебра, которая позволяет решать уравнения; геометрия предназначена для решения задач, объектами которых являются геометрические фигуры. Выбор подходящей теории—дело каждого, кто решает задачу. На первый взгляд все просто. Сложность в том, что математиче­ских теорий гораздо меньше, чем практических задач, решение ко­торых требует привлечения методов математики. Особенно нагляд­но для практиков, а не для математиков это стало в последние 40—50 лет, когда появились вычислительные машины. Математи­ки осознали это положение гораздо раньше. Более того, давно воз­ник вопрос о соотношении истины в математическом смысле и ис­тины с точки зрения реальных процессов. Ответ на этот вопрос можно получить, проанализировав понятие «математическая тео­рия» в том смысле, в котором его использует наука.

Не вдаваясь в историю этого вопроса, напомним, что в конце XIX и в XX веке были пересмотрены заново все основания матема­тики. Итог был подведен в многотомном трактате группы француз­ских математиков, которые объединились под псевдонимом Н.Бурбаки. Идея наведения порядка в «математическом доме» появилась в 1872 г. в виде так называемой Эрлангенской программы Ф. Клейна. Именно Ф. Клейн пришел к выводу, что все возможные геометрии можно рассматривать как модификации одного и того же математического объекта—группы, а различие этих гео­метрий представляется как различие в преобразовании координат. Это дало возможность говорить о единстве математики, но о таком единстве, которое допускает множество различий.

Группа Н. Бурбаки выбрала в качестве базы для единства ма­тематики такой объект, как множество, и рассмотрела различные математические теории как специфицированные множества. Они написали около 30 томов современной математики и на разобран­ных примерах показали существование единства математических теорий. В основу положен аксиоматический метод, который форма­лизует как способ задания аксиом, так и правила вывода из них. При этом существенными являются взаимосвязи между формально определенными математическими объектами (структурами), а не их конкретное наполнение. Введенное понятие «математическая теория» может служить эталоном (стандартом) для проверки уровня качества каждой частной прикладной математической модели. Рассмотрим основные части этого стандарта.