3. Симметричный режим работы трехфазной цепи
Расчет трехфазной цепи, так же как и расчет всякой сложной цепи, ведется обычно в комплексной форме. Ввиду того что фазные э. д. с. генератора сдвинуты друг относительно друга на 120°, для краткости математической записи применяется фазовый оператор — комплексная величина
Умножение вектора на оператор а означает поворот вектора на 120° в положительном направлении (против хода часовой стрелки).
Соответственно умножение вектора на множитель а2 означает поворот вектора на 240° в положительном направлении или, что то же, поворот его на 120° в отрицательном направлении.
Очевидно,
Если э. д. с. фазы А равна ЁА, то э. д. с. фаз В и С равны соответственно:
В простейшем случае симметричного режима работы трехфазной цепи, когда генератор и нагрузка соединены звездой (рис. 9, а), векторная диаграмма э.д.с. и токов имеет вид, показанный на рис. 9, б.
Ток в каждой фазе отстает от э. д. с. той же фазы на угол = arctg х/r,
где r и х—активное и реактивное сопротивления фаз.
Ток в фазе А находят так же, как в однофазной цепи, потому что нейтральные точки генератора и нагрузки
а) б)
Рис. 9. Симметричный режим работы трехфазной цепи.
а — трехфазная цепь; б — векторная диаграмма.
в симметричном режиме могут быть соединены как имеющие одинаковые потенциалы:
·
Соответственно токи в фазах В и С выражаются через ток IА:
, .
Наличие нейтрального провода не вносит при симметричном режиме никаких изменений, так как сумма токов трех фаз равна нулю и ток в нем отсутствует:
.
Таким образом, при симметричном режиме работы трехфазной цепи задача сводится к расчету одной из фаз аналогично расчету однофазной цепи. При этом сопротивление обратного (нейтрального) провода не учитывается, так как ток в нем и соответственно падение напряжения на нем отсутствуют.
По мере удаления от генератора фазные напряжения, определяемые падениями напряжения до нейтральной точки нагрузки, изменяются по величине (обычно убывают) и по фазе. Линейные напряжения определяются как разности соответствующих фазных напряжений, например: . В любом месте трехфазной линии при симметричном режиме соблюдается следующее соотношение между модулями линейных и фазных напряжений:
.
Действительно,
т. е. опережает по фазе UA на 30°, причем модуль Uав в √3 раз превышает UA.
В случае соединения треугольником линейные токи определяются в соответствии с первым законом Кирхгофа как разности фазных токов и при симметричном режиме соблюдается соотношение .
Соединение фаз генератора или нагрузки треугольником должно быть для расчета заменено эквивалентным соединением фаз звездой; вследствие этого расчет трехфазной цепи с соединением фаз треугольником приводится в конечном итоге к расчету эквивалентной трехфазной цепи с соединением фаз звездой.
Между сопротивлениями сторон треугольника (Z) и лучей звезды (Z ) имеет место соотношение Z = 1/3 Z , вытекающее из формул преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду. Это соотношение справедливо как для сопротивлений симметричной трехфазной нагрузки, так и для сопротивлений симметричного трехфазного генератора. При этом фазные э.д.с. эквивалентного генератора, соединенного звездой, берутся в раз меньшими фазных э. д. с. заданного генератора, соединенного треугольником (кроме того, они должны быть сдвинуты на угол 30°). Это легко усмотреть из векторной потенциальной диаграммы напряжений генератора.
Активная мощность симметричной трехфазной нагрузки равна:
.
_Ввиду того что при соединении нагрузки звездой и, а_при соединении нагрузи* треугольником Uф=Uл и , активная мощность трехфазной цепи независимо от вида соединения выражается через линейные напряжения и ток следующим образом:
здесь φ — угол сдвига фазного тока относительно одноименного фазного напряжения.
Рис. 12-10. Измерение активной мощности при симметричном режиме.
Аналогичным образом для реактивной и полной мощностей симметричной трехфазной нагрузки имеем:
Q=√3·Uл·Iл·sinφ; S=√3·Uл·Iл ..
Приведенные выражения не означают, что при пересоединении нагрузки со звезды на треугольник (или наоборот) активная и реактивная мощности не изменяются. При пересоединении нагрузки со звезды на треугольник при заданном линейном напряжении фазные токи возрастут в √3 раз, а линейный ток — в 3 раза и поэтому мощность возрастет в 3 раза.
Если нейтральная точка симметричной трехфазной нагрузки выведена, то измерение активной мощности может быть осуществлено одним ваттметром, включенным по схеме рис. 12-10, а (одноименные или так называемые генераторные зажимы последовательной и параллельной цепей ваттметра отмечены на рис. 12-10, а звездочками). Утроенное показание ваттметра равно суммарной активной мощности трех фаз.
Рис. 12-11. Измерение реактивной мощности при симметричном режиме
Если нейтральная точка не выведена или нагрузка соединена треугольником, то можно воспользоваться схемой рис. 12-10,б , где параллельная цепь ваттметра и два добавочных активных сопротивления rдоб, равные по величине сопротивлению параллельной цепи ваттметра, образуют искусственную нейтральную точку 0 *.
Для получения суммарной мощности, как и в предыдущем случае, показание ваттметра утраивается.
На рис. 12-11 показан способ измерения реактивной мощности в симметричной трехфазной цепи при помощи одного ваттметра: последовательная цепь ваттметра включена в фазу А, а параллельная — между фазами В и С, причем генераторные зажимы ваттметра присоединены к фазам А и В. Показание ваттметра в этом случае равно:
UBC·IA·cos(φ-900)=UBC·IA·sinφ.
Для получения суммарной реактивной мощности показание умножается на √3.
Ч)
о.)
Рис. 12-12. Пример 12-1.
* Следует заметить, что здесь применим только электродинамический или ферродинамический ваттметр, сопротивление параллельной цепи которого является чисто активным. Индукционный ваттметр неприменим по той причине, что сопротивление параллельной цепи такого ваттметра имеет реактивное сопротивление; для создания искусственной нейтральной точки в этом случае потребовались бы реактивные добавочные сопротивления.
Разделив активную мощность на полную мощность, получим:
Cos φ= P/S
Пример 12-1. Определить ток в генераторе при симметричном режиме работы трехфазной цепи, представленной на рис. 12-12, а.
Сопротивления Z4, соединенные треугольником, заменяются эквивалентной звездой из сопротивлений — 24.
О
При симметричном режиме нейтральные точки генератора и нагрузки, как было указано выше, могут быть объединены. Тогда режим работы каждой фазы, например фазы А, может быть рассмотрен в однофазной расчетной схеме (рис. 12-12, б).
Результирующее сопротивление цепи одной фазы равно:
Искомый ток в фазе А
12-4. НЕСИММЕТРИЧНЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ
Несимметрия в трехфазной цепи может быть вызвана различными причинами; 1) неодинаковым сопротивлением фаз (несимметричная нагрузка); 2) несимметричным коротким замыканием (например, между двумя фазами или фазой и нейтралью); 3) размыканием фазы; 4) неравенством величин э. д. с. и т. п.
Расчет токов и напряжений в трехфазной цепи при несимметричном режиме может производиться теми же методами, которые применяются для расчета однофазных цепей.
Рассмотрим несколько простейших вариантов (без взаимной индукции между фазами).
1. Несимметричная трехфазная цепь, соединенная звездой, с нейтральным проводом (рис. 12-13).
Несимметричная трехфазная цепь, показанная на рис. 12-13, может рассматриваться как трехконтурная цепь с тремя э. д. с. Такая цепь может быть рассчитана методами контурных токов, узловых напряжений и дру-
гимн. Поскольку в схеме имеются только два узла, наиболее целесообразно в данном случае определить узловое напряжение (напряжение смещения) между нейтральными точками О' и О по формуле, аналогичной (4-4):
(12-1)
где У a, YB, Ус и YN — проводимости соответствующих ветвей.
Рис. 12-13. Несимметричная трехфазная цепь, соединенная звездой (с нейтральным проводом}.
Рис. 12-14. Несимметричная трехфазная нагрузка, соединенная звездой (без нейтрального провода).
После этого найдем токи:
IA=Ya(EA-UN);
IB=YB(EB-UN);
IC=YC(EC-UN);
В симметричной трехфазной цепи YA = YB = YC и
поэтому при EA+EB+EC = 0 узловое напряжение UN равно нулю.
Случаю размыкания какой-либо фазы или нейтрального провода соответствует равенство нулю проводимости данной фазы или нейтрального провода.
При отсутствии нейтрального провода, полагая в (12-1) YN= 0, имеем:
2. Несимметричная трехфазная нагрузка, соединенная звездой (без нейтрального провода), с заданными линейными напряжениями на зажимах (рис. 12-14).
Если заданы линейные напряжения UAB, 0BC и оса на зажимах нагрузки, соединенной звездой, то токи в фазах звезды определяются следующим образом.
Обозначив фазные напряжения на зажимах нагрузки через UA, UB и UC
(рис. 12-14), получим
IA = YA *UA
IB = YB *UB
IC = YC*UC
где YA, YB и YC— проводимости фаз нагрузки.
Равенство нулю суммы токов трех фаз записывается в виде:
YAUA+-YBUB + YCUC = Q. (12-2)
Фазные напряжения Uв и Uc могут быть выражены через UA и заданные линейные напряжения:
(12-3)
UB=UA-UAB
UC=UCA+UA
Подстановка (12-3) э (12-2) дает:
и — ^ в Ав — ^с ^СА
Л~ уа + ув + ус '
Круговой заменой индексов (с порядком следования АВСА и т. д.) находятся:
(12-4)
По фазным напряжениям нагрузки находятся фазные токи.
В случае симметричной нагрузки ¥л = Ув = Ус вектор фазного напряжения равен одной трети диагонали параллелограмма, построенного на соответствующих линейных напряжениях. Фазные напряжения в этом случае определяются векторами, соединяющими центр тяжести треугольника напряжений (точка пересечения медиан) с вершинами треугольника,, -
На рис. 12-15 построение сделано для фазы Л по формуле (12-4):
Uа = -I (UАВ - UСА) =-I (UВА + UСА).
В качестве примера рассмотрим схему фазоуказателя, используемую для определения чередования фаз по времени, состоящую из конденсатора и двух одинаковых электрических ламп, соединенных звездой1.
Рис. 12-15. Нахождение фазных напряжений.
Рис. 12-16. Несимметричная трехфазная нагрузка, соединенная треугольником.
Положим, что конденсатор присоединен к фазе Л, лампы — к фазам В и С; емкостное сопротивление конденсатора берется равным по величине сопротивлению лампы, т. е. ZA = —jxc, ZB = Zc = г, причем хс = г.
Неравенство напряжений на лампах проявится в том, что накал ламп будет разным. Отношение напряжений согласно выведенным выше выражениям (12-4) равно при симметрии линейных напряжений:
Следовательно, лампа, присоединенная к фазе В (т. е. к фазе, опережающей ту, к которой присоединена вторая лампа), будет светить ярко, а лампа, присоединенная к отстающей фазе, — тускло.
1 Для определения чередования фаз на практике обычно пользуются специальным прибором, в котором создается вращающееся магнитное поле (см. § 12-6), увлекающее за собой диск в ту или другую сторону.
Вместо конденсатора можно применить индуктивную катушку, подобрав ее индуктивное сопротивление приблизительно равным по величине сопротивлению лампы. В этом случае ярче будет светить лампа, присоединенная к отстающей фазе. Эти соотношения также могут быть получены непосредственно из векторной диаграммы.
3. Несимметричная трехфазная нагрузка, соединенная треугольником, с заданными напряжениями на зажимах (рис. 12-16).
Если на зажимах несимметричной трехфазной нагрузки, соединенной треугольником, заданы линейные напряжения uab, ubc и uca (рис. 12-16), то токи в сопротивлениях нагрузки равны:
U ав U вс uca
Zab ZBC ZCA
Токи в линии определяются как разности соответствующих
ПАВ ПСА токов нагрузки и т. д.
Если на зажимах несимметричной трехфазной нагрузки, соединенной треугольником, заданы фазные напряжения Uа, йв и l/c источника, соединенного в звезду, то линейные напряжения на зажимах нагрузки находятся как разности соответствующих фазных напряжений, в результате чего задача сводится к только что рассмотренному случаю (рис. 12-16).
1 Таким образом, термином «фаза» в электротехнике обозначаются два понятия: угол, определяющий стадию периодического процесса, и составная часть многофазной цепи.
2 Следует отметить, что на практике применяются также трехфазные генераторы, в которых полюсы неподвижны, а обмотки вращаются.