9) В условии задачи требовалось найти , но в ходе решения были найдены только ее составляющие.
Для вычисления самой реакции будем использовать «правило параллелограмма».
Следовательно,
Для определения направления необходимо вычислить угол φ.
Ответ:
;
;
Знак «-» у реакции показывает, направление реакции нужно поменять на противоположное.
Пример 3 (задачи №21-№30).
Определить реакции заделки балки.
Если
q
= 2
;
= 1
;
М = 0,8
;
= 2
;
α
= 30º; l1
= 1 м; l2
= 3 м; l3
= 1 м; l4
= 6 м.
Оформление.
Р
Дано:
q
= 2
М
= 0,8
α
= 30º;
l1
= 1 м;
l2
= 3 м;
l3
= 1 м;
l4
= 6 м
;
=
1
;
;
=
2
;
ешение:
1. Введем обозначение:
длина балки – АВ.
2. Рассмотрим равновесие балки ав.
3. Определим активные силы (нагрузки), действующие на балку ав.
Н
-
?
-
?
а) равномерно-распределенная нагрузка, которая задана интенсивностью q и длиной действия l;
Ее действие заменяем равнодействующей силой G, которая приложена посередине нагруженного участка и равна:
.
В
данном случае q
= 2
;
l2
= 3 м;
б) сосредоточенная сила P, которая действует под углом 30º к оси балки;
в)
сосредоточенная сила
,
которая действует под углом 90º к оси
балки;
г) пара сил с моментом М.
4. Определим виды связей, участвующих в задаче:
а) связь в точке А: жесткая заделка – препятствует линейным перемещениям балки и лишает ее возможности поворачиваться вокруг точки А;
5. Под действием активных сил (нагрузок) на балку в связях возникают реакции связей и реактивный момент .
6. Для удобства решения связи отбрасываем и заменяем их реакциями связей:
а)
в точке А направление реакции неизвестно,
поэтому находим две перпендикулярные
составляющие реакции
и
;
б)
в точке А возникает реактивный момент
,
направление и величина которого не
известна.
Направление
реактивного момента
берем произвольное, дальнейшее решение
покажет его истинное направление:
- если значение момента положительная величина, то выбранное направление совпадает с действительным;
- если значение момента отрицательная величина, то действительное направление будет противоположно выбранному.
Итак, на балку АВ действуют:
а)
активные силы: равномерно-распределенная
нагрузка
,
сосредоточенные силы
и
,
пара сил выраженная моментом М;
б)
реактивные силы (реакции связей): реакция
связи
,
которая разложена на две составляющие
и
,
реактивный момент
.
Это является системой сил для данной балки.
7. Полученную систему сил совместим с системой координат xoy.
8. Составим условие равновесия и вычислим реакции заделки.
-
сумма проекции всех сил на ось 0Х должна
быть равна нулю.
- сумма проекции всех сил на ось 0Y должна быть равна нулю.
- сумма моментов относительно точки А должна быть равна нулю.
- сумма моментов относительно точки В должна быть равна нулю.
Для решения достаточно трех уравнений, четвертое используют для проверки: для удобства вычислений берем (1), (2), (3) уравнения, так как они будут содержать по одному неизвестному, а (4) уравнение используется для проверки.
8.1 Рассмотрим (1) уравнение условия равновесия:
Вычислим проекцию каждой силы на ось 0Х:
а)
- перпендикулярен оси 0Х, следовательно,
=
0;
б)
- находится на оси 0Х, следовательно,
;
в)
- перпендикулярен оси 0Х, следовательно,
=
0;
г)
- действует под углом α
к оси балки, следовательно,
;
д)
- перпендикулярен оси 0Х, следовательно,
=
0.
Подставим значение проекций в уравнение (1):
8.2 Рассмотрим уравнение (2) условия равновесия
Вычислим проекцию каждой силы на ось 0Y.
а)
- находится на оси 0Y,
следовательно,
;
б)
- перпендикулярен оси 0Y,
следовательно,
;
в)
- параллелен оси 0Y,
следовательно,
;
г)
- идет под углом α
к оси 0Х, следовательно,
;
д)
- параллелен оси 0Y,
следовательно,
.
Подставим значение проекций в уравнение (2):
8.3 Рассмотрим уравнение (3) условия равновесия
При рассмотрении данного условия учитываются все моменты, возникающие в системе.
Момент характеризуется числовым значением и направлением.
Виды моментов:
а) момент пары сил М
Пара сил – это две равные и параллельные силы, направленные в противоположные стороны и не лежащие на одной прямой.
Пара сил стремится повернуть тело. Действие пары сил на тело характеризуется моментом М.
Момент пары сил М равен произведению силы на кратчайшее расстояние (взятое по перпендикуляру к силам) между линиями действия сил.
Пару сил на чертежах изображают дугообразной стрелкой , указывающей направление вращения.
Момент пары сил будем считать положительным, если пара сил стремится повернуть тело по часовой стрелке.
Момент пары сил будем считать отрицательным, пара сил стремится повернуть тело против часовой стрелки.
б) момент силы относительно точки М0 равен произведению модуля силы Р на длину перпендикуляра l, опущенного из точки на линию действия силы
Момент силы будем считать положительным, если сила стремится повернуть тело по часовой стрелке.
Момент силы будем считать отрицательным, если сила стремится повернуть тело против часовой стрелки.
Варианты действия силы относительно опоры и расчет момента этой силы относительно опоры.
- если сила действует под углом 90º к оси балки
то
- если сила действует под углом отличным от угла 90º к оси балки
то
,
l
–
длина перпендикуляра, опущенного из
точки на линию действия силы
.
Чтобы рассчитать l, рассмотрим прямоугольник ΔАДС:
В нем:
АД – l,
АС – длина балки;
α – угол;
АД – это неизвестный катет ΔАДС, он является противолежащим относительно данного угла α, следовательно,
Поэтому формула для расчета момента силы относительно точки А приобретает следующий вид:
Момент
силы
относительно точки В будет рассчитываться
аналогично:
- если сила действует под углом 90º к оси балки и проходит через точку, относительно которой рассчитывается момент
то
Так
как l
–
перпендикуляр, опущенный из точки на
силу, то в данном случае он равен нулю,
следовательно, и
.
- если сила действует под углом отличным от угла 90º и проходит через точку, относительно которой рассчитывается момент
то
,
но l = 0, следовательно,
.
Вычислим все моменты относительно точки А.
а)
момент от
:
;
б)
момент от
:
;
в)
момент от
:
;
г)
момент от
:
д)
момент от
:
;
е) момент М от пары сил (числовое значение дано в условии, нужно определить направление)
МА = +М.
ж)
реактивный момент
МА
= +
Подставим значение моментов в уравнение (3):
.
8.4 Выполним проверку с помощью (4) уравнения:
Вычислим все моменты, возникающие относительно точки В (свободного конца балки):
а)
момент от
:
;
б)
момент от
:
;
в)
момент от
:
;
г)
момент от
:
д)
момент от
:
;
е) момент М от пары сил
МВ = +М.
ж) реактивный момент m
МВ = +m.
Подставим значение моментов в (4) уравнение:
Так как при выполнении проверки получили верное равенство, значит, найденные значения реакции и реактивного момента вычислены верно.
9)
В условии задачи требовалось найти
,
но в ходе решения были найдены только
ее составляющие. Для вычисления самой
реакции будем использовать «правило
параллелограмма».
Следовательно,
Для определения направления необходимо вычислить угол φ.
Ответ:
;
;
Знак «-» у реакции и реактивного момента показывает, что их направление нужно поменять на противоположное.
Пример 4 (задачи №31-№40).
Найти центр тяжести плоской детали (размеры в см.)
Решение.
-
Совмещаем сложную фигуру с системой координат Х0Y так, чтобы вся фигура находилась в I четверти.
-
Разбиваем сложную фигуру на простые геометрические фигуры.
В результате получились следующие простые геометрические фигуры:
1 – полукруг;
2 – прямоугольник;
3 – круг;
4 – треугольник.
3. Вычислим площади простых геометрических фигур.
Площади простейших плоских фигур вычисляются по формулам:
а) квадрат
б)
прямоугольник
в
)
окружность
г) полукруг
д) треугольник
Итак, в данном случае:
1 – полукруг
2 – прямоугольник
3 – круг
4 – треугольник
-
Вычислим положение центра тяжести простых геометрических фигур.
Центр тяжести тела – это точка, связанная с этим телом, через которую проходит линия действия силы тяжести данного тела при любом положении тела в пространстве.
Положение центров тяжести простых геометрических фигур:
а) квадрат
Центр тяжести квадрата находится на пересечении диагоналей. Перпендикуляр, опущенный из центра тяжести квадрата на сторону, делит эту сторону пополам.
б) прямоугольник
Центр тяжести прямоугольника находится на пересечении диагоналей. Перпендикуляр, опущенный из центра тяжести прямоугольника на сторону, делит эту сторону пополам.
в) окружность
Центр тяжести окружности находится на пересечении диаметров.
г) полукруг
Центр
тяжести полукруга находится на оси
симметрии полукруга на расстоянии
от его основания.
д) треугольник
Центр тяжести треугольника находится на пересечении медиан. (Медиана – это отрезок прямой, проходящий через вершину угла и середину противолежащей стороны треугольника).
Для нахождения координаты центра тяжести в прямоугольном треугольнике нужно опустить перпендикуляры из точки пересечения медиан на катеты треугольника. Эти перпендикуляры разделят катеты треугольника в следующем соотношении:
Итак, в данном случае:
1 - полукруг
Координата по оси 0Х:
Координата по оси 0Y:
2 – прямоугольник
Координата по оси 0Х:
Координата по оси 0Y:
3 – круг
Координата по оси 0Х:
Координата по оси 0Y:
4 – прямоугольник
Координата по 0Х:
или
Координата по 0Y:
или
