1. Введем следующее обозначение:

Расстояния между опорами обозначим АВ.

2. Рассмотрим равновесие балки ав.

3. Определим активные силы (нагрузки), действующие на балку ав.

Н

- ?

- ?

а балку АВ действуют следующие активные силы:

а) равномерно-распределенная нагрузка, которая задана интенсивностью q и длиной действия l;

Ее действие заменяем равнодействующей силой G, которая приложена посередине нагруженного участка и равна:

.

В данном случае q = 2 ; l₂ = 3 м;

б) сосредоточенная сила P, которая действует под углом 20º к оси балки;

в) сосредоточенная сила , которая действует под углом 90º к оси балки;

г) пара сил с моментом М.

4. Определим виды связей, участвующих в задаче:

а) связь в точке А: шарнирно-неподвижная опора, величина и направление реакции которой неизвестны;

б) связь в точке В: шарнирно-подвижная, ее реакция направлена перпендикулярно к плоскости катания.

5. При действии активных сил (нагрузок) на балку в связях возникают реакции связей и .

6. Для удобства решения связи отбрасываем и заменяем их реакциями связей:

а) в точке А направление реакции неизвестно, поэтому находим две перпендикулярные составляющие реакции и ;

б) в точке В реакция направлена перпендикулярно плоскости катания.

Итак, на балку АВ действуют:

а) активные силы: равномерно-распределенная нагрузка , сосредоточенные силы и , пара сил выраженная моментом М;

б) реактивные силы (реакции связей):

реакция связи , которая разложена на две составляющие и , реакция связи .

Это является системой сил для данной балки.

7. Полученную систему сил совместим с системой координат xoy.

8. Составим условие равновесия и вычислим реакции опор.

- сумма проекции всех сил на ось 0Х должна быть равна нулю.

- сумма проекции всех сил на ось 0Y должна быть равна нулю.

- сумма моментов относительно опоры А должна быть равна нулю.

- сумма моментов относительно опоры В должна быть равна нулю.

Для решения достаточно трех уравнений, четвертое используют для проверки: для удобства вычислений берем (1), (3), (4) уравнения, так как они будут содержать по одному неизвестному, а (2) уравнение используется для проверки.

8.1 Рассмотрим (1) уравнение условия равновесия:

Вычислим проекцию каждой силы на ось 0Х:

а) - перпендикулярен оси 0Х, следовательно, = 0;

б) - находится на оси 0Х, следовательно, ;

в) - перпендикулярен оси 0Х, следовательно, = 0;

г) - действует под углом 20º к оси балки, следовательно, ;

д) - перпендикулярен оси 0Х, следовательно, = 0;

е) - перпендикулярен оси 0Х, следовательно, = 0.

Подставим значение проекций в уравнение (1):

8.2 Рассмотрим уравнение (3) условия равновесия

При рассмотрении данного условия учитываются все моменты, возникающие в системе.

Момент характеризуется числовым значением и направлением.

Виды моментов:

а) момент пары сил М

Пара сил – это две равные и параллельные силы, направленные в противоположные стороны и не лежащие на одной прямой.

Пара сил стремится повернуть тело. Действие пары сил на тело характеризуется моментом М.

Момент пары сил М равен произведению силы на кратчайшее расстояние (взятое по перпендикуляру к силам) между линиями действия сил.

Пару сил на чертежах изображают дугообразной стрелкой , указывающей направление вращения.

Момент пары сил будем считать положительным, если пара сил стремится повернуть тело по часовой стрелке.

Момент пары сил будем считать отрицательным, пара сил стремится повернуть тело против часовой стрелки.

б) момент силы относительно точки М₀ равен произведению модуля силы Р на длину перпендикуляра l, опущенного из точки на линию действия силы

Момент силы будем считать положительным, если сила стремится повернуть тело по часовой стрелке.

Момент силы будем считать отрицательным, если сила стремится повернуть тело против часовой стрелки.

Варианты действия силы относительно опоры и расчет момента этой силы относительно опоры.

- если сила действует под углом 90º к оси балки

то

- если сила действует под углом отличным от угла 90º к оси балки

то

,

l – длина перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы .

Чтобы рассчитать l, рассмотрим прямоугольник ΔАДС:

В нем:

АД – l,

АС – длина балки;

α – угол;

АД – это неизвестный катет ΔАДС, он является противолежащим относительно данного угла α, следовательно,

Поэтому формула для расчета момента силы относительно точки А приобретает следующий вид:

Момент силы относительно точки В будет рассчитываться аналогично:

- если сила действует под углом 90º к оси балки и проходит через точку, относительно которой рассчитывается момент

то

Так как l – перпендикуляр, опущенный из точки на силу, то в данном случае он равен нулю, следовательно, и .

- если сила действует под углом отличным от угла 90º и проходит через точку, относительно которой рассчитывается момент

то

,

но l = 0, следовательно,

.

Вычисляем все моменты, возникающие относительно точки А.

а) момент от :

;

б) момент от :

;

в) момент от :

;

г) момент от :

д) момент от :

е) момент от :

;

ж) момент М от пары сил

числовое значение дано в условии, нужно определить направление

М_А = +М.

Подставим значение моментов в уравнение (3):

.

8.3 Рассмотрим уравнение (4):

Условия равновесия (аналогично 8.2)

Вычислим все моменты, возникающие относительно точки В:

а) момент от :

;

б) момент от :

;

в) момент от :

;

г) момент от :

д) момент от :

;

е) момент от :

;

ж) момент М от пары сил

М_В = +М.

Подставим значение моментов в уравнение (4):

.

8.4 Выполним проверку с помощью (2) уравнения:

Вычислим проекцию каждой силы на ось 0Y:

а) - параллелен оси 0Y, следовательно, ;

б) - перпендикулярен оси 0Y, следовательно, ;

в) - параллелен оси 0Y, следовательно, ;

г) - идет под углом α к оси 0Х, следовательно, ;

д) - параллелен оси 0Y, следовательно, ;

е) - параллелен оси 0Y, следовательно, .

Подставим значение проекций в уравнение (2):

PS: при выполнении проверки получили верное равенство, значит, найденные значения реакций вычислены верно.