3. Примеры решения задач

Производство, технология. Общий, средний, предельный продукт.

Задача1.

Подсчитайте средний и предельный продукт фирмы, если известны следующие данные:

Число рабочих	Совокупный продукт
1	30
2	70
3	100
4	120
5	130

Когда начинает действовать в данном случае убывающая экономия от масштаба?

Решение:

3.1. Если число рабочих — это затраты труда L, а совокупный продукт — ТР, то

AP_L = TP/L, MP_L = (ТР_i - ТР_i-1   )

L	ТР	APL	MPL
1	30	30	30
2	70	35	40
3	100	33,3	30
4	120	30	20
5	130	26	10

Экономия от масштаба начинает снижаться после того, как число работников превысит 2.

Задача 2.

Фирма платит 200 тыс. руб. в день за аренду оборудования и 100 тыс. руб. заработной платы. При этом она использует такое количество труда и капитала, что их предельные продукты соответственно равны 0,5 и 1

Использует ли фирма оптимальное сочетание факторов производства с точки зрения максимизации прибыли?

Решение:

Да, так как 200/1 = 100/0,5 (используем 2-й закон Госсена).

Задача 3.

Производственная функция фирмы имеет вид: Q (х, у) = 5ху. Цена единицы ресурса Х – 10 д.е., единицы ресурса Y – 20 д.е. Фирма располагает денежными средствами в размере 40 тыс. д.е. Определите максимально возможный объем производства.

Решение:

Алгебраическое: 10x+20y=40000 x+2y=4000 x=4000-2y 5xy стремится к max xy стремится к max (4000-2y)y стремится к max (2000-y)y стремится к max Функция (2000-y)y представляет собой перевернутую параболу с корнями 0 и 2000 Max функции будет при y=(2000-0)/2=1000 Тогда x=4000-2*1000=2000 Проверка: 2000*10+1000*20=40000 максимально возможный объем производства: Q=5*2000*1000=10 млн.ед. Ответ: 10 млн.ед.

Задача 4.

Технология производства фирмы описывается производственной функцией Q = К 0,5•L2, где Q – объем выпускаемой за год продукции, К – объем основных фондов, L – объем использования рабочей силы. Определите предельный продукт труда, предельный продукт капитала и предельную норму технического замещения капитала трудом, если К = 9, L = 4.

Решение:

Предельный продукт капитала: MPK=Qk=0.5K-1/2L2=0.5*1/3*16=8/3 Предельный продукт труда: MPL=QL=2LK1/2=2*4*3=24 Предельную норму технического замещения ресурсов: MRTS=-MPL/ MPK=24/8*3=9 Ответ: 8/3, 24, 9

Задача 5.

Технология некоторой фирмы такова, что соотношение между затратами труда и затратами капитала должно быть строго фиксированным: 1 станок – 5 рабочих. Таким образом, факторы являются взаимодополняющими, поэтому избыточное количество любого из факторов не повышает выпуск. Пусть фирма на месяц наняла 25 рабочих и арендовала 3 станка. Месячная ставка заработной платы равна 600 д.е., месячная арендная плата за один станок – 400 д.е., цена единицы продукции – 15 д.е. За день с одного станка снимается 15 ед. продукции, а в месяце 20 рабочих дней. Определите, каковы будут прибыль или убытки фирмы в этом месяце.

Решение:

За месяц с одного станка объем выпуска составит: Q=15•20=300 (ед. продукции) Общая выручка составит от одного станка: TR=300•15 =4500 (д.е.) Затраты производства данного объема составят: TC=1•400 + 5•600=3400 (д.е.) Тогда для 3 станков получим: Q=300•3=900 (ед. продукции) TR=4500•3=13500 (д.е.) TC=3400•3=10200 (д.е.) Не совсем ясно, зачем фирма наняла 25 рабочих, если для обслуживания трех станков необходимо только 15 рабочих. Если это опечатка, и рабочих было 15, то прибыль составит: П=TR-TC=13500–10200=3300 (д.е.) Если же фирма наняла 25 рабочих, то ,соответственно, она должна выплачивать им заработную плату, тогда: TC=10200+10*600=16200 (д.е.) П=13500-16200=-2700 (д.е.) Т.е. фирма несет убыток.

Ответ: прибыль 3300 д.е.; убыток 2700 д.е.

Издержки

Задача 1.

Функция издержек конкурентной фирмы ТС = Q2 + 5Q + 25. Определите функции переменных, постоянных, средних переменных, средних постоянных, средних общих и предельных затрат.

Решение:

переменные издержки = VС = ТС-FС = Q2 + 5Q;

постоянные издержки = FС = const = 25;

средние переменные издержки = АVС = VС/ Q = Q2 + 5Q / Q = Q + 5;

средние постоянные издержки = FС / Q = 25 / Q

средние общие издержки = АС = ТС/ Q = (Q2 + 5Q + 25) / Q = Q + 5 + 25 / Q;

предельные издержки:

ΔQ= ((Q+1)2 + 5(Q+1) + 25) – (Q2 + 5Q + 25) = Q2 + 2Q +1 + 5Q+5 + 25 - Q2 - 5Q – 25 = 2Q +1.

Задача 2.

Краткосрочные общие издержки конкурентной фирмы ТС = Q3 - 8Q2 + 20Q + 50. При каком уровне рыночной цены фирма прекратит производство в краткосрочном периоде?

Решение:

Условие прекращения производства фирмой - АVСmin = Р.

Но АVС = VС/Q = Q2 - 8Q + 20. Данная функция имеет минимум при Q = 4.

Задача 3.

По приведенным в таблице исходным данным рассчитайте альтернативные издержки, связанные с производством дополнительной единицы товара Х при переходе от варианта В к варианту С.

Вид продукции	Альтернативные производственные возможности
	А	В	С	Д	Е
Товар Х, шт	0	2	4	6	8
Товар У, шт	40	38	32	18	0

Решение:

Альтернативные издержки, связанные с производством дополнительной единицы товара Х при переходе от варианта В к варианту С равны ΔУ/ΔХ = (38-32)/(4-2) = 6 / 2 = 3. Т.е. при переходе от варианта В к варианту С для производства дополнительно единицы

товара Х мы отказываемся от 3 единиц товара У. Открыв новое дело, бизнесмен вложил в него собственный капитал 80 000. Он мог взять эту сумму в банке под 10% годовых.

Задача 4.

Открыв новое дело, бизнесмен вложил в него собственный капитал 80 000. Он мог взять эту сумму в банке под 10% годовых. Когда после полутора лет работы бизнесмен будет подсчитывать свой доход, какие неявные издержки он вычтет из общей выручки?

Решение:

Неявные издержки равны процентам, которые бизнесмен заплатил бы, если бы взял деньги в банке. 1,5 года • (80 000 • 0,1) = 12 000.

Задача 5.

Функция средних переменных затрат имеет вид: AVС = 100 + 20 Q. Постоянные затраты равны 120. Найти алгебраическое выражение для функций общих затрат.

Решение:

ТС= FC+ VС, а VС=AVС•Q, то ТС= 120 + 100Q+ 20 Q2.

Задача 6.

В производстве продукта используется 2 фактора: труд и земля. В каких из нижеперечисленных случаях достигается минимизация издержек?

	Предельный продукт	Цена земли	Предельный продукт труда	Цена труда
А	6	2	9	3
Б	16	8	15	5
В	9	2	8	2
Г	20	5	16	8

Решение: Минимизация издержек достигается в варианте, когда предельные продукты земли и труда на единицу цены равны. Это возможно в случае а, т.е. 6/2 = 9/3.

Эффект масштаба

Задача 1.

Фирма увеличивает применяемый капитал со 12 до 15 ед., используемый труд с 50 до 62,5 ед. Выпуск продукции при этом увеличился с 20 до 22 ед. Какой эффект роста масштаба производства имеет место в данной ситуации?

Решение: Фирма увеличила ресурсы в 1,25 раз (15/12 и 62,5/50), а выпуск увеличился в 1,1 раз (22/20). Это убывающий эффект масштаба производства.

Задача 2.

Производственная функция имеет вид . Цены факторов равны соответственно 2 и 6. Фирма стремится максимизировать выпуск, но ее финансовые ресурсы ограничены 30 единицами. Чему будут равны затраты капитала и труда?

Решение:

Искомые значения труда и капитала являются координатами точки касания изокванты (при некотором Y ) и изокосты . Общие точки этих двух кривых удовлетворяют системе Отсюда . Возведем обе части последнего равенства в куб: . Найдем максимум по L : . Исключая случай , получаем . Тогда .

Задача 3.

Производственная функция имеет вид , где Y - количество продукции за день, L - часы труда, K -часы работы машин. Предположим, что в день затрачивается 9 часов труда и 9 часов работы машин. Каково максимальное количество продукции, произведенной за день? Предположим, что фирма удвоила затраты обоих факторов. Определите эффект масштаба производства?

Решение:

В условиях задачи в день производится единиц продукции. Если затраты обоих факторов удваиваются, то выпуск становится равным, т.е. тоже удваивается. Тогда и эффект от изменения масштаба производства, определяемый из условия, равен единице.

Выручка, прибыль

Задача 1.

Монополист увеличил выпуск продукции с 70 до 80 шт. в месяц в надежде продать все изделия по наивыгодной для себя цене. Определите, как изменится его прибыль (увеличится, будет неизменной, уменьшится), если функция спроса имеет вид: Qd = 150 –

Р, где Р – цена ед. продукции.

Решение:

Прибыль рассчитывается как разность между выручкой (P • Q) и валовыми издержками. Из уравнения спроса Qd= 150 – P можно вывести формулу расчета цены:

Р = 150 – Q.

Рассчитаем для решения задачи выручку монополиста до и после увеличения объема выпуска продукции:

1) Q1 = 70 шт., Р1 = 150-70 = 80 ден. ед., P1 • Q1 = 5600 ден. ед.;

2) Q2 = 80 шт., Р2 = 150-80 = 70 ден. ед., P2 • Q2 = 5600 ден. ед.;

Т.о., выручка монополиста, несмотря на увеличение объема, осталась неизменной, что свидетельствует о снижении прибыли, т.к. изготовление 80 ед. связано с большими издержками, нежели изготовление 70 ед.

Ответ: прибыль снизится.

Задача 2.

Организация в отчетный период реализовала продукцию по оптовым ценам с включением НДС на сумму 10 млн. руб., себестоимость всей реализованной продукции оставила в отчетном периоде 5 млн. руб. Ставка НДС-10%. Определить: 1)прибыль полученную организацией в отчетном периоде 2)как изменится прибыль от реализации в плановом периоде, если будет установление нормативной рентабельности продукции в размере 10%

Решение:

1) Прибыль = 10 млн./(1+0,1) - 5 млн. = 9,1 млн. - 5 млн. = 4,1 млн. (руб.). 2) В случае установления нормативной рентабельности продукции в размере 10% прибыль изменится на: 5 млн.*10% - 4,1 млн. = 0,5 млн. - 4,1 млн. = - 3,6 млн. руб., т. е. в данном случае прибыль снизится на 3,6 млн. руб..

Задача 3

В первом квартале было изготовлено и реализовано 10 тыс. изделий цена 1-го изделия – 100 руб., постоянные расходы на ед. продукцию – 30 руб., переменные расходы на ед. продукцию – 40 руб., во втором квартале планируется изготовить и реализовать 12 тыс. изделий. Определить: 1)прибыль организации в первом квартале 2)прибыль организации во втором квартале 3)рентабельность продукции в первом и во втором квартале

Решение:

1) Прибыль = Выручка - Валовые издержки = Объём*Цена - (Пост. изд. + Перем. изд.) = 10 тыс.*100 - (10 тыс.*30 + 10 тыс.*40) = 1 млн. - 700 тыс. = 300 тыс. (руб.). 2) т. к. сумма постоянных издержек не изменяется с изменением динамики объёмов выпуска продукции в краткосрочном периоде, а сумма переменных издержек прямо пропорционально зависит от объёма выпуска продукции, то, следовательно, прибыль организации во 2-ом квартале составит: Прибыль = Выручка - Валовые издержки = Объём*Цена - (Пост. изд. + Перем. изд.) = 12 тыс.*100 - (300 тыс. + 12 тыс.*40 = 1,2 млн. - 780 тыс. = 420 тыс. (руб.). 3) Рентабельность продукции в первом квартале:  (300 тыс./700тыс.)*100% = 42,86%. Рентабельность продукции во втором квартале: (420 тыс./780тыс.)*100% = 53,85%.

Задача 4

Фирма повысила цены на велосипеды на 20%, в результате объем продаж сокра-тился на 10%. Как изменилась выручка?

Решение:

Пускай начальная цена составляла p, а объем продаж q. Выручка в этой ситуации была равна pq. После повышения цена стала равна 1,2p, а объем продаж 0,9q. Новая выручка составила 1,2p × 0,9q = 1,08pq, что на 8% больше, чем раньше.