Максимизация прибыли

Задача 1.

Функция предельных затрат фирмы МС = 10 + Q (руб.). Цена единицы продукции постоянна и равна 60 руб./шт. Определите объем выпуска, который позволит фирме максимизировать прибыль.

Решение:

Фирма максимизирует прибыль при МС = МR, который в условиях совершенной конкуренции равен цене единицы продукции, т.е. 60 руб.

Поэтому МR = 60 →МС = 60 → Q = МС – 10 = 50.

Задача 2.

Допустим, фирма полностью монополизировала производство товара. При этом ее предельный доход = 1000 – 20Q, а общий доход = 1000Q – 10Q2. Предельные издержки = 100+10Q. Сколько товаров будет продано и по какой цене, если фирма функционирует как чистая монополия?

Решение:

Т.к. для любой фирмы, в т.ч. и монополии, условием максимизации прибыли является соблюдение равенства MR = MC, то, приравняв друг к другу уравнения предельного дохода MR и предельных издержек MC, найдем объем продаж

Q: 1000 – 20Q = 100 + 10Q →Q = 30 ед.

Т.к. TR = P • Q = 1000Q – 10Q2, то функция спроса: Р = 1000 –

10Q →P = 700 ден. ед.

Задача 3.

Постоянные затраты монополиста составляют 400 млн. руб. в год, переменные затраты на единицу продукции составляют 10 тыс. руб. Спрос в интервале цен от 30 до 50 тыс. штук описывается линейной функцией в тыс. шт.: 100 - 1,4 'Р, где Р — цена в тыс. руб. При какой цене достигается максимум прибыли?

Решение:

Приведем решение с полным выводом всех формул. Пусть Р, q и П — неизвестные цена, количество и прибыль:П(Р, q) = R(P, q) - C(q), где R — выручка, а С — производственные затраты.

R(P, q) = P-q,

C(q) = F + V(q) = F + vq,

где F, V — постоянные и переменные расходы, v — удельные расходы (и = 10 тыс. руб./шт.).

Количество q ограничено спросом:

q < Dd(P) = D - d-P,

где D = 100 тыс. шт., a d = 1,4 тыс. шт./тыс. руб. = 1,4 шт./руб.

Итак, математически задача формулируется следующим образом:

П(Р, q) = P-q-vq-F-> max

при q < Dd(P) = D - d-P.

При цене (Р), большей, чем переменные издержки на единицу продукции (У), выгодно производить максимально возможное для продажи количество товаров, то есть ограничивающее неравенство превращается в равенство:

q = D - d-P,

и путем подстановки получаем:

- d-P2 + (D + d-v)-P - D-v - F -> max (по Р).

Максимум квадратичной формы с отрицательным коэффициентом при квадрате (-d) достигается в точке среднего арифметического корней:

Цена : P = p1 + p2 /2 = D + d *v /2d = 40,714 тыс. руб.;

Количество: q = D+d*v / 2 = 43 тыс. шт.,

где D = 100; d = 1,4; v = 10;

Максимальная прибыль:

П max = (D+d*v)2 / 4d – F = 1178 - 400 = 778 млн. руб.

Задача 4.

Предприятие находится в условиях совершенной конкуренции. Цена установилась на уровне 10 тыс. руб. Зависимость общих затрат от выпуска продукции представлена в таблице:

Выпуск (шт.)	Общие затраты (тыс. руб.)
10	80
11	86
12	93
13	102
14	113
15	125

Какой объем производства выберет предприятие, максимизирующее прибыль?

Решение:

Применим маржинальный анализ. До тех пор пока маржинальная (предельная) отдача будет превышать маржинальные (предельные) затраты, следует увеличивать выпуск продукции. В общепринятых обозначениях этот критерий может быть записан:

Выпуск (шт.)	Общие затраты (тыс. руб.)		Маржинальные затраты МС (тыс. руб.)	Маржинальная отдача MR (тыс. руб.)	Маржинальная прибыль MP (тыс. руб.)
10	80		0	10	0
11	86		6	10	4
12	93		7	10	3
13	102	9		10	1
14	113	11		10	-1
15	125	12		10	-2

так: MR > МС.

В данном случае MR = Р, то есть отдача возрастает при фиксированной цене каждый раз на эту самую цену. Из составленной таблицы следует, что, выпустив тринадцать единиц продукции, нужно остановиться, так как четырнадцатая единица принесет уменьшение общей прибыли на 1 тыс. руб.

Ответ: 13.

Задача 5.

Допустим, общие затраты конкурентной фирмы на выпуск Q единиц продукции составляют Q2 - 16 • Q + 74. Сколько нужно выпускать, чтобы прибыль была максимальной, если рынок диктует цену, равную 20 единицам? Какова эта максимальная

прибыль?

Решение:

МС = 2-Q - 16, условие максимизации прибыли МС = MR, а в данном случае MR — Р, следовательно, Qo = 18,ТС = 110, TR = 360, прибыль равна 250.

Задача 6.

Монополист работает на рынке с неэластичным спросом. Как он должен изменить цену с целью максимизации прибыли? Ответ поясните.

Решение:

В зоне неэластичного спроса даже серьезное повышение цены ведет лишь к небольшому падению спроса. Таким образом, выручка с ростом цены вырастет. Издержки в этой ситуации снизятся в связи с сокращением объема продаж. Таким образом, прибыль фирмы увеличится при повышении цены.

Рынок труда

Задача 1

Фирма продает некий продукт на совершенно конкурентном рынке по 10 руб. за штуку. Производственная функция имеет вид: Q = 145L –0,75L² , где Q – объем производства, L – количество работников. Ставка заработной платы W = 1000руб. в месяц.

Определить оптимальное количество работников.

Решение:

Находим MRP_L = Р*МP_L = 10*(145 - 2*0,75L) =1450 - 15L = W = 1000; L = 30

Задача2.

В фирме “Надувательство”, по надуванию воздушных шариков работают 3 человека, причем каждый надувает в среднем 198 шариков в день. После того как фирма наняла еще одного работника, общее количество надуваемых шариков возросло на 66. Что произошло со средней производительностью труда?

Решение:

Поскольку предельный продукт труда (66 дополнительных шариков) меньше среднего продукта труда (198 шариков), то средняя производительность труда понижается.

Задача 3.В некоторой малой фирме работают двое рабочих, получающих в месяц по 4 тыс. руб. и президент, получающий 10 тыс.руб. в месяц. Как изменилась средняя зарплата на фирме после того, как наняли бухгалтера, работающего за 6 тыс.руб. в месяц?

Решение:

Средняя зарплата в фирме ранее была равна (2^.4+10)/3 = 6 тыс.руб.

После найма бухгалтера средняя зарплата стала (2*4+6+10)/4 = 6 тыс.руб.

Таким образом, средняя зарплата не изменилась.

Задача4. Фирма “Перпетум мебели” уволила 30% работников, а оставшимся подняла зарплату на 30%. При этом объем производства мебели вырос на 40%.

1. Как изменилась средняя производительность труда?

2. Что произошло с затратами фирмы на оплату труда? Зарплату считать одинаковой для всех работников.

Решение:

1. Производство выросло на 40%, то есть Q₂ = 1,4Q₁ .

Число работников сократилось на 30%, то есть L₂ =0,7L₁ Производительность труда стала равной

Q₂/L₂ =(1,4Q₁/ 0,7L₁) = 2 Q₁/ L₁, то есть выросла в 2 раза.

b) Зарплата каждого работника увеличилась на 30%, то естьW₂ = 1,3 W₁.

Затраты фирмы на оплату труда стали равными L₂ W₂ =0,7L ₁*1,3W ₁ =0,91L₁ W₁ , то есть сократились на 9%

Ответ: производительность труда выросла в 2 раза, а затраты фирмы на оплату труда сократились на 9%

Рынок капитала

Формулы, применяемые при решении задач:

Ставка процента –i = I/K , где i - ставка ссудного процента, I – годовой доход от

кредита, K – первоначальная сумма кредита.

2. Простые ставки ссудных процентов: S = P (1+n i), где Р - первоначальная сумма кредита,

i - ставка ссудного процента, n – период начисления.

3. Дисконтирование – по наращенной сумме S, периоду начисления n и простой процентной

ставке i нужно определить первоначальную сумму P, т.е. P = S : (1+n i).

4. Сложные ставки ссудных процентов: S = P (1+ i) ⁿ .

5 Дисконтирование – по наращенной сумме S, периоду начисления n и сложной

процентной ставке i нужно определить первоначальную сумму P, т.е. P = S : (1+ i)ⁿ .

6. Методы оценки инвестиционных решений :

А) метод чистой приведенной стоимости :

Б) метод нормы внутренней отдачи: норма дисконтирования, при которой настоящая стоимость инвестиций равна 0.

Задача1.

Первоначальная сумма Р = 5000руб. Помещена в банк на n=2 года под i = 15% годовых

(простые проценты). Найти наращенную сумму.

Решение: наращенная сумма после двух лет S = P (1+n i) = 5000 (1 + 2*0.15) = 6500

Задача2.

Первоначальная сумма Р = 3000 руб., наращенная сумма S = 4500руб., i = 20% годовых (простые проценты). Найти период начисления.

Решение: Из формулы S = P (1+n* i) находим n = (S – P) : (i *P) = (4500 – 3000) : 0,2*3000 = 2,5 года.

Задача 3.

Первоначальная сумма Р = 2000 руб., наращенная сумма S = 2200руб., период начисления n = 0,5 года. Найти простую процентную ставку.

Решение: Из формулы S = P (1+n* i) находим i = (S – P) : (n* P) = 0,2 (20%).

Задача 4(дисконтирование).

Наращенная сумма S = 7000руб., период начисления n = 0,25 года (один квартал), простая процентная ставка i = 15% годовых. Найти первоначальную сумму.

Решение: Из формулы S = P (1+n* i) находим Р = S : (1+n* i) = 7000 : (1 +0.25*0,12) = 6796,12 руб.

Задача 5.

.Первоначальная сумма Р = 7000руб. помещена в банк на n = 3 года под i = 10% годовых (сложные проценты). Найти наращенную сумму.

Решение: наращенная сумма после трех лет S = P (1+ i)ⁿ = 7000 (1 + 0.15)³ = 10646руб.

Задача 6(дисконтирование).

Наращенная сумма S = 7000руб., период начисления n = 2 года, сложная процентная ставка i = 12% годовых. Найти первоначальную сумму.

Решение: Из формулы S = P (1+ i)ⁿ находим Р = S : (1+ i)ⁿ = 7000 : (1 +0,12)² = 5580,36руб.

Задача7.

Предприятие анализирует два инвестиционных проекта на 2 млн. руб. Оценка чистых денежных вложений приведена в таблице. Альтернативные издержки по инвестициям равны 12%. Определить чистую приведенную стоимость каждого проекта.

Год	Проект А, млн.руб.	Проект А, млн.руб.
1	0,9	0,8
2	1,6	1,1
3	-	0,6

Чистая приведенная стоимость проекта А равна:

Чистая приведенная стоимость проекта В равна:

Так как 0,08 больше 0,02, то проект А предпочтительнее.

Задача8.

Инвестор рассматривает инвестиционный проект, который обещает принести 210 тыс.руб. через 2 года. Какую сумму готов он вложить сегодня в этот проект, если по прогнозу инфляция в следующем году составит 25%, а через год 20%, при этом существует 5%-вероятность невозврата средств? Считать инвестора нейтральным по отношению к риску.

A) 133 тыс.руб. B) 140 тыс.руб. C) 150 тыс.руб. D) 210 тыс.руб.

Решение:

Через 2 года инвестор с вероятностью 95% получит 210 тыс.руб., а с вероятностью 5% не получит ничего. Это означает, что в среднем сумма, которую он получит, составит 0,95*210 = 199,5 тыс.руб.

За 2 года деньги обесценятся в 1,25*1,2 = 1,5 раза. Из этого следует, что полученные через 2 года 199,5 тыс.руб. соответствуют сегодняшним 199,5 / 1,5 = 133 тыс. руб. Именно эту сумму инвестор готов вложить в проект.