- •Введение
- •§ 2. Кинематика вращательного движения
- •§ 3. Динамика поступательного движения
- •§ 4. Динамика вращательного движения
- •§ 5. Работа и энергия
- •§ 6. Законы сохранения
- •§ 7. Вращательное движение твёрдых тел
- •§ 1. Кинематика поступательного движения
- •§ 2. Кинематика вращательного движения
- •§ 3. Динамика поступательного движения
- •§ 4. Динамика вращательного движения
- •§ 5. Работа и энергия
- •§ 6. Законы сохранения
- •§ 7. Вращательное движение твердых тел
Введение
Скорость и ускорение прямолинейного движения в общем случае определяются формулами
, a
В случае прямолинейного равномерного движения
const, a 0.
Для прямолинейного равнопеременного движения
s 0 t , 0 at, a const.
В этих уравнениях ускорение a положительно при pавноускоренном движении и отрицательно при pавнозамедленном.
При криволинейном движении полное ускорение
a .
Здесь — тангенциальное (касательное) ускорение и — нормальное (центростремительное) ускорение, причём
, ,
где — скорость движения и R — радиус кривизны траектории в данной точке.
При вращательном движении в общем случае угловая скорость и угловое ускорение находятся по формулам
, .
В случае равномерного вращательного движения угловая скорость
n,
где T — период вращения, n — частота вращения, т.е. число оборотов в единицу времени.
Угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением
= R.
Тангенциальное и нормальное ускорения при вращательном движении могут быть выражены в виде
R , 2R
Основной закон динамики (второй закон Ньютона) выражается уравнением
F dt = d(m).
Если масса m постоянна, то
F = m = ma,
где a — ускорение, которое приобретает тело массой m под действием силы F.
Работа силы на пути s может быть выражена формулой
A = ,
где Fs — проекция силы на элементарное перемещение d, ds — длина элементарного перемещения. Интегрирование должно быть распростра-нено на весь путь s. В случае постоянной силы, действующей под углом к перемещению, имеем
A = F s сos ,
где — угол между силой и перемещением .
Мощность определяется формулой
.
В случае постоянной мощности
.
Здесь A — работа, совершаемая за время t. Мощность может быть определена также формулой
N = F сos ,
т.е. произведением скорости движения на проекцию силы на направление движения.
Для кинетической энергии тела массой m, движущегося со скоростью , имеем
.
Формулы для потенциальной энергии имеют разный вид в зависимости от характера действующих сил.
Импульс замкнутой механической системы постоянен при любых взаимодействиях тел системы, т.е.
const.
Полная механическая энергия системы, между телами которой действуют консервативные силы, постоянна, т.е.
= = const,
где — потенциальная энергия системы.
Работа A неконсервативных сил равна изменению механической энергии системы, т.е. A = , и — механическая энергия системы в конечном и начальном состоянии.
При криволинейном движении сила, действующая на материальную точку, может быть разложена на две составляющие — тангенциальную и нормальную. Нормальная составляющая
является центростремительной силой. Здесь — линейная скорость движения тела массой m, R — радиус кривизны траектории в данной точке.
Сила, вызывающая упругую деформацию x, пропорциональна деформации, т.е.
F = k x,
где k — жёсткость (коэффициент, численно равный силе, вызывающей деформацию, равную единице).
Потенциальная энергия упругого тела
Две материальные точки (т.е. такие тела, размеры которых малы по сравнению с их взаимным расстоянием) притягиваются друг к другу с силой
,
где G = 6,67210–11 Нм/кг2 — гравитационная постоянная, m1 и m2 — массы взаимодействующих материальных точек, r — расстояние между ними. Этот закон справедлив и для однородных шаров; при этом r — расстояние между их центрами масс.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел
.
Знак "минус" соответствует тому, что при r потенциальная энергия двух взаимодействующих тел равна нулю; при сближении этих тел потенциальная энергия убывает.
Момент M силы F относительно какой-нибудь оси вращения определяется формулой
M = F l,
где l — расстояние от прямой, вдоль которой действует сила, до оси вращения.
Моментом инерции материальной точки относительно какой-нибудь оси вращения называется величина
I = m r2,
где m — масса материальной точки и r — её расстояние до оси вращения.
Момент инерции твёрдого тела относительно оси его вращения
,
где интегрирование должно быть распространено на весь объём тела. Производя интегрирование, можно получить момент инерции тела любой формы.
Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра
,
где R — радиус цилиндра и m — его масса.
Момент инерции полого цилиндра (обруча) с внутренним радиусом R1 и внешним R2 относительно оси цилиндра
,
для тонкостенного полого цилиндра R1 R2 = R и I mR2.
Момент инерции однородного шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр:
.
Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно к нему,
.
Если для какого-либо тела известен его момент инерции Ic относительно любой оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции I относительно любой оси, параллельной первой, может быть найден по формуле Штейнера
где m — масса тела и d — расстояние от центра масс тела до оси вращения.
Основной закон динамики вращательного движения выражается уравнением
Mdt = dL = d(I),
где M — момент сил, приложенный к телу, L — момент импульса тела (I — момент инерции тела, — его угловая скорость). Если I = const, то
,
где — угловое ускорение, приобретаемое телом под действием момента сил M.
Кинетическая энергия вращающегося тела
где I — момент инерции тела и — его угловая скорость.
ЗАДАЧИ
1 (1.2). Первую половину своего пути автомобиль двигался со скоростью 1 = 80 км/ч, а вторую половину со скоростью 2 = 40 км/ч. Какова средняя скорость движения автомобиля?
2 (1.8). Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через время t = 3 с. Какова была начальная скорость 0 тела и на какую высоту h оно поднялось?
3 (1.9). Камень бросили вертикально вверх на высоту h = 10 м. Через какое время t он упадёт на землю? На какую высоту h поднимется камень, если начальную скорость камня увеличить вдвое?
4 (1.10). С аэростата, находящегося на высоте h = 300 м, упал камень. Через какое время t камень достигнет земли, если: а) аэростат поднимается со скоростью = 5 м/с; б) аэростат опускается со скоростью = 5 м/с; в) аэростат неподвижен?
5 (1.12). Тело падает с высоты h = 19,6м с начальной скоростью 0 = 0. Какой путь пройдёт тело за первую и последнюю 0,1 с своего движения?
6 (1.14). Свободно падающее тело в последнюю секунду движения проходит половину всего пути. С какой высоты падает тело и каково время t его падения?
7 (1.16). Расстояние между двумя станциями метрополитена l = 1,5 км. Первую половину этого расстояния поезд проходит равноускоренно, вторую — равнозамедленно с тем же по модулю ускорением. Максимальная скорость поезда = 50 км/ч. Найти ускорение a и время t движения поезда между станциями.
8 (1.18). Поезд, двигаясь равнозамедленно, в течение времени t = 1 мин уменьшает свою скорость от 1 = 40 км/ч до 2 = 28 км/ч. Найти ускорение a поезда и расстояние s, пройденное им за время торможения.
9 (1.19). Поезд движется равнозамедленно, имея начальную скорость 0 = 54 км/ч и ускорение a = –0,5 м/с2. Через какое время t и на каком расстоянии s от начала торможения поезд остановится?
10 (1.20). Тело 1 движется равноускоренно, имея начальную скорость 10 и ускорение a1. Одновременно с телом 1 начинает двигаться равнозамедленно тело 2, имея начальную скорость 20 и ускорение a2. Через какое время после начала движения оба тела будут иметь одинаковую скорость?
11 (1.22). Зависимость пройденного телом пути s от времени t даётся уравнением , где A = 2 м/с, B = 3 м/с2 и C = 4 м/с3. Найти: а) зависимость скорости и ускорения a от времени t; б) расстояние s, пройденное телом, скорость и ускорение тела через время t = 2 с после начала движения.
12 (1.24). Зависимость пройденного телом пути s от времени t даётся уравнением , где A = 3 м, B = 2 м/с и C = 2 м/с2. Найти среднюю скорость ср и среднее ускорение aср тела за первую, вторую и третью секунды его движения.
13 (1.26). С башни высотой h = 25 м горизонтально брошен камень со скоростью = 15 м/с. Какое время t камень будет в движении? На каком расстоянии l от основания башни он упадёт на землю? С какой скоростью он упадёт на землю? Какой угол составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю?
14 (1.27). Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через время t = 0,5 c на расстоянии l = 5 м по горизонтали от места бросания. С какой высоты h брошен камень? С какой скоростью он брошен? С какой скоростью он упадёт на землю? Какой угол составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю?
15 (1.28). Мяч, брошенный горизонтально ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии l = 5 м от места бросания. Высота места удара мяча о стенку на h = 1 м меньше высоты h, с которой брошен мяч. С какой скоростью брошен мяч? Под каким углом мяч подлетает к поверхности стенки?
16 (1.29). Камень, брошенный горизонтально, через время t = 0,5 с после начала движения имел скорость в 1,5 раза большую скорости x в момент бросания. С какой скоростью x брошен камень?
17 (1.32). Мяч брошен со скоростью 0 = 10 м/с под углом = 40 к горизонту. На какую высоту поднимется мяч? На каком расстоянии l от места бросания он упадёт на землю? Какое время t он будет в движении?
18 (1.33). На спортивных состязаниях в Ленинграде спортсмен толк-нул ядро на расстояние l1 = 16,2м. На какое расстояние l2 полетит такое же ядро в Ташкенте при той же начальной скорости и при том же угле наклона её к горизонту? Ускорение свободного падения в Ленинграде g1 = 9,819 м/с2, в Ташкенте g2 = 9,801 м/с2.
19 (1.35). Камень, брошенный со скоростью 0 = 12 м/с под углом = 45 к горизонту, упал на землю на расстоянии l от места бросания. С какой высоты h надо бросить камень в горизонтальном направлении, чтобы при той же начальной скорости он упал на то же место?
20 (1.40). Мяч, брошенный со скоростью 0 = 10 м/с под углом = 45 к горизонту, ударяется о стенку, находящуюся на расстоя нии l = 3 м от места бросания. Когда происходит удар мяча о стенку (при подъёме мяча или при его опускании)? На какой высоте h мяч ударит о стенку (считая от высоты, с которой брошен мяч)? Найти скорость мяча в момент удара.