Вынужденые колебания с учётом силы сопртивления движению

Из условий статического равновесия рис 1в имеем:

Тогда .

Из начальных условия рис 1б имеем:

Рассматривая динамическую расчетную схему (рис. 3, г) по закону Ньютона запишем:

После выполнения сокращений уравнение приводим к каноническому виду:

,

Рассмотрим случай когда k > n

где , k – собственная частота колебаний груза на пружине.

Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

имеет вид:

где х₁ – общее решение соответствующего однородного уравнения

,

х₂ – частное решение неоднородного уравнения, вид которого определяется видом правой части уравнения в общем случае.

где А и В – некоторые постоянные, значения которых определяются подстановкой частного решения х₂ в неоднородное дифференциальное уравнение.

Для того, чтобы равенство выполнялось при любом значении ψ коэффициенты при sin ψ и при cos ψ в левой и правой частях этого уравнения должны быть равны.

Возведем в квадрат, а потом сложим последние уравнения

Тогда

Тепер решение дифференциального уравнения отыскиваем в виде:

Определим неизвестные постоянные интегрирования С₁ и С₂ , для этого необходимо продифференцирывать последнее выражение

Используем начальные условия задачи:

1) При t = 0 , т.е

2) При t = 0 , т.е.

Подставим найденные численные значения коэффициентов. Окончательно получим:

Рассмотрим случай когда k = n

Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

имеет вид:

где х₁ – общее решение соответствующего однородного уравнения

,

х₂ – частное решение неоднородного уравнения, вид которого определяется видом правой части уравнения в общем случае.

где А и В – некоторые постоянные, значения которых определяются подстановкой частного решения х₂ в неоднородное дифференциальное уравнение.

Для того, чтобы равенство выполнялось при любом значении ψ коэффициенты при sin ψ и при cos ψ в левой и правой частях этого уравнения должны быть равны.

Возведем в квадрат, а потом сложим последние уравнения

Тогда

Тепер решение дифференциального уравнения отыскиваем в виде:

Определим неизвестные постоянные интегрирования A₁ и A₂ , для этого необходимо продифференцирывать последнее выражение

Используем начальные условия задачи:

1) При t = 0 , т.е

2) При t = 0 , т.е.

Подставим найденные численные значения коэффициентов. Окончательно получим:

Рассмотрим случай когда k < n

Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

имеет вид:

где х₁ – общее решение соответствующего однородного уравнения

х₂ – частное решение неоднородного уравнения, вид которого определяется видом правой части уравнения в общем случае.

где А и В – некоторые постоянные, значения которых определяются подстановкой частного решения х₂ в неоднородное дифференциальное уравнение.

Для того, чтобы равенство выполнялось при любом значении ψ коэффициенты при sin ψ и при cos ψ в левой и правой частях этого уравнения должны быть равны.

Возведем в квадрат, а потом сложим последние уравнения

Тогда

Тепер решение дифференциального уравнения отыскиваем в виде:

Определим неизвестные постоянные интегрирования A₁ и A₂ , для этого необходимо продифференцирывать последнее выражение

Используем начальные условия задачи:

1) При t = 0 , т.е

,откуда

2) При t = 0 , т.е.

, откуда

Подставим найденные численные значения коэффициентов. Окончательно получим: