Затухающие колебания при наличии силы вязкого трения, пропорциональной первой степени скорости

Из условий статического равновесия рис 1в имеем:

Тогда .

Из начальных условия рис 1б имеем:

Рассматривая динамическую расчетную схему (рис. 1, г) по закону Ньютона запишем:

,

или

,

где Откуда:

Решение дифференциального уравнения отыскиваем в виде:

Тогда , .

Подставим решение в уравнение

Так как , то , значит

Это уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения.

Корни этого уравнения

Рассмотрим случай когда k > n

Тогда решением будет:

Корни характеристического уравнения комплексные и решение уравнения необходимо записать в виде:

где А₁, А₂ – постоянные интегрирования.

Это решение с помощью формул Эйлера можно представить в виде:

.

Найдем постоянные интегрирования C₁ и С₂. Для этого необходимо иметь общее выражение для х. Дифференцируем по t последнее выражение

Используем начальные условия задачи:

1) При t = 0 , т.е

, откуда

2) При t = 0 , т.е.

, т.е.

, тогда

Получаем окончательно:

.

Подставим найденные численные значения коэффициентов. Окончательно получим:

Рассмотрим случай когда k = n

Тогда решением будет:

Корни характеристического уравнения кратные и решение уравнения необходимо записать в виде:

А₁ и А₂ – постоянные интегрирования.

Дифференцируем по t последнее выражение

Используем начальные условия задачи:

1) При t = 0 , т.е

, откуда .

2) При t = 0 , т.е.

,

Окончательно получаем:

Рассмотрим случай когда k < n

Тогда решением будет:

Корни характеристического уравнения действительные и решение уравнения необходимо записать в виде:

А₁ и А₂ – постоянные интегрирования. Дифференцируем по t последнее выражение

Используем начальные условия задачи:

1) При t = 0 , т.е

, откуда

2) При t = 0 , т.е.

, откуда

Окончательно получаем:

Вынужденые колебания без учёта сил сопротивления движению

Из условий статического равновесия рис 1в имеем:

Тогда .

Из начальных условия рис 1б имеем:

Рассматривая динамическую расчетную схему (рис. 3, г) по закону Ньютона запишем:

После выполнения сокращений уравнение приводим к каноническому виду:

,

где , k – собственная частота колебаний груза на пружине.

Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

имеет вид:

где х₁ – общее решение соответствующего однородного уравнения

,

х₂ – частное решение неоднородного уравнения, вид которого определяется видом правой части уравнения в общем случае ,

где А и В – некоторые постоянные, значения которых определяются подстановкой частного решения х₂ в неоднородное дифференциальное уравнение.

.

Коэффициенты при и при в левой и правой частях этого уравнения должны быть равны в любой момент времени.

.

тогда

Решение дифференциального уравнения отыскиваем в виде:

.

Определим неизвестные постоянные интегрирования С₁ и С₂ , для этого необходимо продифференцирывать последнее выражение

Используем начальные условия задачи:

1) При t = 0 , т.е

2) При t = 0 , т.е.

Тогда уравнение колебательного движения запишем в следующем виде: