41.Основні властивості перетворення z-перетворення.

42. Формула фільтрації дискретної системи.

Дискретная система (или цифровой фильтр) – системы обработки цифрового сигнала заданного вектором x, называемого воздействием, преобразующая его в выходной вектор y, называемый реакцией или откликом системы (рисунок 1) в соответствии с преобразованием F.

y = F(x)                        (1)

В общем случае дискретная система обладает памятью, в которой могут сохраняться комбинации входных и выходных отсчетов. Начальные условия дискретной системы могут быть нулевыми и ненулевыми. Признак нулевых начальных условий - отсутствие реакции при отсутствии воздействия. Это означает, что все значения отсчетов воздействия и реакции, которые может помнить система, в моменты времени, предшествующие начальному, равны нулю. При ненулевых начальных условиях при отсутствие воздействия, на выходе дискретной системы наблюдаются отсчеты, значения которых отличны от нуля.

Дискретная система называется  линейной, если она обладает следующими свойствами:

- принцип суперпозиция или свойство аддитивности, которое означает, что реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий по отдельности:

F(x₁+ x₂ +…x_n) = F(x₁)+ F(x₂) +… F(x_n)                 (2);

- свойство однородности, означающее, что реакция на воздействие умноженное на коэффициент K равна произведению реакции на воздействие (без умножения на K) и коэффициента:

F(K·x) = K·F(x)             (3);

Таким образом, оператор F для дискретной линейной системы является линейным, и такая система описывается линейным уравнением.

Дискретная система называется  стационарной, если задержка воздействия приводит лишь к такой же задержке отклика системы, т.е. параметры системы неизменны во времени - система обладает свойством инвариантности по отношению к началу отсчета времени. Т.е. если

x(k) = x₁(k – m);

y(k) = F[x(k)];

y₁(k) = F[x₁(k)];

то

y(k) = y₁(k-m)            (4)

Дискретная система называется  физически реализуемой, если при нулевых начальных условиях реакция системы не может возникнуть раньше воздействия, т.е. реакция системы зависит только от текущего и предыдущих значений воздействия и не зависит от последующих значений воздействий. Условимся, что под дискретной системой и цифровым фильтром, если это не оговорено отдельно, мы будем подразумевать  линейную стационарную физически реализуемую дискретную систему. Дискретная система может быть описана во временной области линейным уравнением: сверткой или разностным уравнением, представляющим собой линейную комбинацию входных и выходных отсчетов; в частотной области – передаточной функцией (или комплексным коэффициентом передачи).

43 Імпульсна характеристика дискретної системи та її застосування.

Импульсная характеристика h(k) дискретной системы является откликом системы на единичную импульсную функцию x₀(k), являющуюся аналогом дельта-функции при описании дискретных систем и представляющую собой единичный отсчет с единичным значением:

               (1)

Импульсная характеристика показывает реакцию дискретной системы на подачу на ее вход единичной импульсной функции.

y₀(k) = F(x₀(k)) = h(k)         (2)

Импульсная характеристика является основной характеристикой линейной системы: зная ее можно определить реакцию на любое воздействие. Выведем формулу расчета отклика системы на произвольное воздействие x(k) через импульсную характеристику. Воздействие x(k) можно записать в виде линейной комбинации единичных отсчетов:

(3)

По свойствам линейной стационарной дискретной системы получаем:

- реакцией на единичную импульсную функцию x₀(k) является импульсная характеристика дискретной системы h(k):

x₀(k) => h(k)

- по свойству инвариантности во времени, воздействию, задержанному на m отсчетов соответствует реакция, задержанная на такое же число отсчетов:

x₀(k – m) => h(k – m)

- По свойству однородности умноженному воздействия на константу x(m) соответствует реакция, умноженная на ту же константу x(m)

x₀(k – m)·x(m) => h(k – m)·x(m)

- По свойству аддитивности реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействия по отдельности:

Так как

    (4)

Линейное уравнение, описываемое формулой 4, называется дискретной линейной сверткой.

Дискретная свертка позволяет описать взаимосвязь выхода дискретной системы с ее входом с помощью импульсной характеристики дискретной системы.

46 Нулі, полюси та лишки («вычеты») системної функції дискретної системи. (не сов сем то)