2.2. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины.

Определение. Случайная величина , заданная на вероятностном пространстве , называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно:

или .

Для полной вероятностной характеристики дискретной случайной величины достаточно указать все ее возможное значения и вероятности , с которыми эти значения принимаются, . При этом, поскольку события , , образуют полную группу событий, то

(условие нормировки).

Подобную информацию о дискретной случайной величине записывают в виде таблицы:

						(2.1)

которую называют законом распределения дискретной случайной величины или рядом распределения.

Закон распределения (2.1) является более удобной и наглядной вероятностной характеристикой, чем функция распределения, и его задание полностью эквивалентно заданию функции распределения.

Действительно, функция распределения дискретной случайной величины определяется по закону распределения (2.1) с помощью формулы:

. (2.2)

Подробнее в случае конечного числа значений дискретной случайной величины формула (2.2) выглядит следующим образом:

График функции распределения дискретной случайной величины является кусочно-постоянным со скачками в точках равными , . Это означает, что закон распределения (2.1) по функции распределения (2.2) всегда можно однозначно восстановить.

Вероятность попадания дискретной случайной величины в любое борелевское множество на числовой прямой определяется по формуле:

.

Отметим, что через функцию распределения вероятность в явном виде может и не выражаться.

2.3. Важнейшие дискретные случайные величины и их законы распределения

1. Вырожденная случайная величина.

Любую константу С можно рассматривать как случайную величину, принимающую одно значение: для любого .

Закон распределения вырожденной случайной величины имеет вид:

	С
	1

Выражение для функции распределения вырожденной случайной величины и ее график также имеют вырожденный вид:

С

x

F(x)

1

0

2. Индикаторная случайная величина.

С любым случайным событием А можно связать случайную величину вида:

.

Случайная величина называется индикатором случайного события А или индикаторной случайной величиной. Она принимает только два значения и , при этом

, .

Закон распределения индикаторной случайной величины имеет вид:

	0	1
	q	p

Аналитическое выражение и график функции распределения имеют вид:

x

3. Биномиальная случайная величина.

Биномиальной называется дискретная случайная величина , представляющая собой число успехов в n независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, с вероятностью успеха в одном испытании равной р.

Множество возможных значений биномиальной случайной величины:

.

Вероятности, с которыми значения принимаются, определяются по формуле Бернулли:

.

Закон распределения имеет вид:

	0	1		n

и называется биномиальным законом распределения.

Условие нормировки при этом следует из формулы Бернулли или непосредственно из бинома Ньютона:

.

(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).

Сокращенное обозначение для биномиальной случайной величины:

.

4. Геометрическая случайная величина.

Геометрической называется дискретная случайная величина , представляющая собой число испытаний, проводимых по схеме Бернулли, до появления первого успеха с вероятностью успеха в одном испытании равной р.

Геометрическая случайная величина имеет счетное множество возможных значений:

.

Вероятности значений определяются по формуле:

.

Закон распределения имеет вид:

	1	2		n

и называется геометрическим законом распределения.

Условие нормировки при этом следует из формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

.

(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).

Сокращенное обозначение для геометрической случайной величины:

.

5. Пуассоновская случайная величина.

Пуассоновской называется целочисленная случайная величина, множество возможных значений которой

,

а вероятности, с которыми значения принимаются, задаются формулой:

.

Число называется параметром пуассоновской случайной величины.

Закон распределения имеет вид:

	0	1		n

и называется пуассоновским законом распределения.

Условие нормировки при этом следует из разложения экспоненты в ряд Тейлора:

.

(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).

Сокращенное обозначение для пуассоновской случайной величины:

.