Самарский государственный аэрокосмический
университет имени академика С.П. Королева
Кафедра «Техническая кибернетика»
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Курс лекций
для студентов, обучающихся по специальности
010501 Прикладная математика и информатика
Случайные величины
Лектор: к.ф.-м.н., доцент
Коломиец Э.И.
САМАРА 2011
2.1. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства
Интуитивное представление о случайной величине
Случайная величина – это числовая функция, значения которой заранее (до наблюдения) нельзя точно определить, то есть функция, зависящая от случайного исхода и принимающая свои значения с некоторыми вероятностями.
Примеры случайных величин:
а) число пассажиров в автобусе (конечное число значений);
б) число вызовов на телефонной станции за время Т (счетное число значений);
в) время безотказной работы прибора за время Т (несчетное число значений).
Обозначают случайные величины прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z,…, а их значения соответствующими строчными буквами x, y, z,….
Определение случайной величины
Пусть задано
некоторое вероятностное пространство
.
Определение.
Функция
называется случайной
величиной,
если для любого
множество
является событием,
то есть
.
Смысл приведенного
определения случайной величины состоит
в требовании того, чтобы у подмножества
была определена его вероятность при
любом
.
Определение.
Говорят, что функция
является
-измеримой,
если множество
для любого
.
Таким образом,
случайная величина есть
-измеримая
функция, ставящая в соответствие каждому
элементарному исходу
число
.
Из определения
случайной величины и свойств
-алгебры
вытекает, что событиями являются также
следующие подмножества, связанные со
случайной величиной
:
;
;
;
,
и любые другие,
получающиеся из них с помощью выполнения
конечного или счетного числа операций.
Другими словами, приведенное определение
случайной величины эквивалентно тому,
что попадание случайной величины
в любое борелевское множество на числовой
прямой является событием:
для любого
.
Заметим, что, если
в
-алгебре
содержатся все подмножества
(как, например, в случае конечного или
счетного
),
то случайной величиной является любая
числовая функция
.
В общем случае это не так.
Определение функции распределения случайной величины
Для того, чтобы определять вероятности событий, связанных со случайными величинами, и делать это одним и тем же способом для любых случайных величин, в теории вероятностей вводится понятие функции распределения.
Определение.
Функцией
распределения
случайной величины
называется функция
,
определенная при каждом
равенством:
.
Из
определения случайной величины следует,
что ее функция распределения
определена для любого
.
Геометрически
функция распределения
означает вероятность попадания случайной
точки
левее заданной точки
:
Свойства функции распределения
Функция распределения
является исчерпывающей вероятностной
характеристикой случайной величины,
поскольку позволяет определять
вероятности любых событий с ней связанных.
Это вытекает из следующих ее свойств
функции распределения.
F0).
для любого
.
(свойство следует
из определения, так как
- вероятность).
F1).
Функция распределения
является функцией неубывающей:
.
▲
.
Поэтому в силу свойства 3 вероятности
■.
F2).
.
▲ Нестрогое доказательство данного свойства и его смысл состоят в следующем:
в силу свойства 2
вероятности;
в силу аксиомы
нормированности Р2).
Строгое доказательство свойства F2) основано на использовании аксиомы непрерывности Р4).
Рассмотрим события
,
.
Нетрудно заметить, что последовательность
событий
удовлетворяет свойствам: 1)
;
2)
.
Поэтому в силу аксиомы непрерывности
.
Свойствам
аксиомы непрерывности удовлетворяют
также события
,
и поэтому
.
Поскольку
,
то
■.
F3).
Функция распределения
является функцией непрерывной
слева, то
есть для любого
,
где
- предел слева функции распределения в
точке х.
▲ Рассмотрим
события
,
.
В силу аксиомы непрерывности
.
Поскольку
,
то
■.
Замечание.
Отметим, что если функцию распределения
определить как
,
то она будет функцией непрерывной
справа.
Замечание. Свойства F1), F2) и F3) полностью описывают класс функций распределения в смысле следующего утверждения (без доказательства).
Если функция
удовлетворяет свойствам F1),
F2)
и F3),
то
есть функция распределения некоторой
случайной величины
,
то есть найдется вероятностное
пространство
и такая случайная величина на этом
пространстве, что
.
F4).
Для любого
,
где
- предел справа функции распределения
в точке х,
- величина скачка функции распределения
в точке
.
Следствие.
Если функция распределения непрерывна
в точке
,
то
.
Если функция распределения непрерывна
для любого
,
то
для любого
.
▲ Поскольку справедливо представление
и события в сумме являются попарно несовместными, то в силу аддитивности вероятности
.
Доказательство
свойства следует из того, что
последовательность событий
,
удовлетворяет аксиоме непрерывности
и поэтому
■.
F5).
Для любого
.
▲ Действительно,
■.
Замечание.
Геометрически свойства F3),
F4)
и F5)
означают следующее. В точках
,
где функция распределения имеет разрыв
1 рода, то есть когда
,
за значение функции распределения
принимается левое (нижнее, меньшее). При
этом вероятность события
является ненулевой и ее значение равно
величине скачка
.
В точках непрерывности функции
распределения свойства F3)
F4)
и F5)
содержательными не являются.
F6).
Вероятность попадания случайной величины
в интервал
определяется как приращение функции
распределения на этом интервале:
для любых
.
▲ Поскольку
и события в сумме являются несовместными,
то в силу аддитивности вероятности
или, что эквивалентно,
■.
F7).
.
F8).
.
F9).
.
(Доказать свойства F7), F8) и F9) самостоятельно).
В общем случае график функции распределения может иметь вид:
В приложениях, как правило, встречаются случайные величины, функции распределения которых являются либо везде кусочно-постоянными (дискретные случайные величины), либо везде непрерывными и даже гладкими (непрерывные случайные величины). В каждом из этих случаев существуют более удобные, чем функция распределения, вероятностные характеристики случайных величин.