
- •Численные методы,
- •Введение
- •1. Абсолютная и относительная погрешности.
- •1.1. Число верных знаков приближенного числа
- •1.2. Погрешность функций
- •1.3. Погрешность простейших функций двух переменных
- •1.4. Примеры и задания
- •2. Приближение функций
- •2.1. Интерполяционные полиномы
- •2.2. Интерполяционный полином Лагранжа
- •2.3. Интерполяционный полином Ньютона
- •2.3. Примеры и задания для практических занятий
- •Второй интерполяционный полином Ньютона:
- •3. Численные методы решений трансцендентных и алгебраических уравнений
- •3.1. Метод простой итерации для решения нелинейных и трансцендентных уравнений
- •3.2. Метод хорд и секущих
- •3.3. Метод касательных
- •Скорость сходимости итерационных методов
- •Условие выхода из вычислительного процесса по заданной точности в методах простой итерации
- •Пример и задание для практических занятий
- •4. Численное интегрирование
- •4.1. Метод Ньютона – Котеса
- •4.2. Метод прямоугольников.
- •4.3. Метод трапеций
- •4.4. Метод парабол. (Метод Симпсона)
- •4.5. Квадратурные формулы Гаусса
- •4.6. Задание для практических занятий
- •Численные методы линейной алгебры
- •5.1. Численное решение слау
- •5.2. Прямые методы решения слау
- •5.2.1. Метод Гаусса (Метод исключений)
- •5.2.2. Вычислительная схема метода Гаусса
- •5.2.3. Ортогонализация матриц
- •5.2.4. Решение системы уравнений методом ортогонализации
- •5.3. Итерационные методы решения слау
- •5.3.1. Метод простой итерации
- •5.3.2. Метод Якоби и метод Зейделя
- •5.3.3. Метод оптимального спектрального параметра (осп) для простой итерации
- •5.4. Нахождение собственных векторов и собственных значений матриц
- •5.5. Примеры и задания к теме
- •5.5.1. Прямые методы решения слау
- •5.5.2. Итерационные методы решения слау
- •5.5.3. Нахождение собственных значений и векторов
- •6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.1. Метод разложения в ряд Тейлора
- •6.2. Общая схема метода Рунге - Кутта
- •6.3 Методы Рунге-Кутта низших порядков
- •6.3.1 Метод Эйлера
- •6.3.2. Метод трапеций и прямоугольника
- •6.4. Методы Рунге-Кутта высших порядков
- •6.5. Задание к теме и пример решения оду
- •Численное решение начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных
- •Конечные разности.
- •Гиперболические уравнения
- •Параболические уравнения
- •Уравнения эллиптического типа
- •7.4.1. Разностная схема уравнений
- •Лабораторные задания к теме «Численное решение уравнений в частных производных»
- •7.5.1. Гиперболические уравнения
- •7.5.2. Параболические уравнения
- •7.5.3. Эллиптические уравнения
- •Литература
- •Содержание
7.5.2. Параболические уравнения
Варианты заданий для одномерного уравнения теплопроводности с граничными и начальными условиями (см. 7.3).
№ п/п |
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод |
2.1 |
1 |
0.1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0.01 |
1 |
2.2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0.01 |
2 |
2.3 |
1 |
0.1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0.01 |
1 |
2.4 |
1 |
2 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0.01 |
2 |
|
|
0.1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0.01 |
1 |
2.6 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0.01 |
2 |
2.7 |
|
0.1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0.01 |
1 |
2.8 |
|
2 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0.01 |
2 |
2.9 |
1 |
0.1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0.01 |
1 |
2.10 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0.01 |
2 |
2.11 |
|
0.1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0.01 |
1 |
2.12 |
|
2 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0.01 |
2 |
Методы:
1- явный; 2 - неявный, сведением к СЛАУ и
последующим решением стандартным
методом. Сравнить со строгим решением.
7.5.3. Эллиптические уравнения
Решить заданную краевую задачу методом сеток, сведением её к СЛАУ и последующим решением прямым (стандартным) и итерационным (Зейделя-ОСП) методами. Сравнить с существующим строгим решением.
Варианты заданий для краевой задачи с уравнениями эллиптического типа (см. 7.4).
№ п/п |
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0.2, 0.1 |
- |
|
3.2 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0.2, 0.1 |
-1 |
|
3.3 |
1 |
1 |
1 |
|
0.2, 0.1 |
- |
||||
3.4 |
3 |
1 |
1 |
|
0.2, 0.1 |
0, |
||||
3.5 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
|
0.2, 0.1 |
- |
|
3.6 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0.2, 0.1 |
|
|
3.7 |
1 |
4 |
4 |
10 |
120 |
90 |
40 |
0.5, 0.25 |
- |
|
3.8 |
2 |
1 |
1 |
|
0.2, 0.1 |
- 2 |
||||
3.9 |
1 |
2 |
2 |
10 |
20 |
30 |
40 |
0.25,0.1 |
- |
|
3. 10 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0.2, 0.1 |
2 |
уравнения:
1-Лапласа, 2-Пуассона, 3-Гельмгольца