Операции над матрицами

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

Сложение матриц

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю

Метод Гаусса—Жордана

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A⁻¹.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λ_i (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

.

.

Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ, то есть будет искомой

7 Применение определителей и матриц

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Здесь x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[1].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Методы решения (нажать с ctrl)

• Метод Гаусса

• Метод Гаусса — Жордана

• Метод Крамера

• Матричный метод

.

10 Элементарные функции

Графики

	Прямая линия - график линейной функции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Парабола - график функции квадратного трёхчлена у = ах2 + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax2 + bx +с =0
	Гипербола - график функции . При а > О расположена в I и III четвертях, при а < 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а > 0) или у - - х(а < 0).
	Экспонента (показательная функция по основанию е) у = еx. (Другое написание у = ехр(х)). Асимптота - ось абсцисс.
	Логарифмическая функция y = logax (a > 0)
	у = sinx. Синусоида - периодическая функция с периодом Т = 2π
	у = а•sin(ωx+φ) - функция гармонических колебаний. Обозначения: а - амплитуда, ω - частота (ω = 2π/Т), φ - фаза (сдвиг).
	Косинусоида у = cosx (графики у = sinx и у = cosx сдвинуты по оси х на )
	Тангенсоида y = tgx. Точки разрыва при х = (2k -1), где k = 0, ±1, ±2,.. Вертикальные асимптоты в этих точках.
	Гауссиана у = Аe-(ax2). Кривая "нормального" закона распределения ошибок, у которого , , σ 2 - дисперсия ошибки. Симметрия относительно оси у.
	у = secx - кривая "цепной линии", эту форму принимает абсолютно гибкая нить, подвешенная в параллельном поле тяжести. А полная функция периодична, и её асимптоты х = (2k -1), как у функции y = tgx.
	Круг с центром в точке (xo, yo) радиуса r. (x-xo)2 + (y-yo)2 = r2
	Эллипсс центром в точке (xo, yo). Большая полуось а, малая b, эксцинтриситет ,
	Затухающее колебание y = Ae-ax•sin(ωx+φ)

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

• аркси́нус (обозначение: arcsin)

• аркко́синус (обозначение: arccos)

• аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)

• арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccot или arccotan)

• арксе́канс (обозначение: arcsec)

• арккосе́канс (обозначение: arccosec; в иностранной литературе arccsc)

Свойства функции arcsin

•  (функция является нечётной).

•  при .

•  при x = 0.

•  при 

• 

• 

• 

Функция arccos

График функции y = arccos x.

Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого 

Функция y = cos x непрерывна и на всей своей числовой прямой. Функция y = arccos x является строго убывающей.

• cos(arccos x) = x при 

• arccos(cos y) = y при 

• D(arccos x) = [ − 1;1], (область определения),

• E(arccos x) = [0;π]. (область значений).

[править]Свойства функции arccos

•  (функция центрально-симметрична относительно точки 

•  при 

•  при 

• 

• 

• 

• 

• 

Функция arctg

График функции .

Арктангенсом числа m называется такое значение угла α, для которого 

Функция  непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция  является строго возрастающей.

•  при 

•  при 

• 

• 

[править]Свойства функции arctg

• 

• 

Функция arcctg

График функции y=arcctg x

Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x, для которого 

Функция  непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция  является строго убывающей.

•  при 

•  при 0 < y < π,

• 

• 

[править]Свойства функции arcctg

•  (график функции центрально-симметричен относительно точки 

•  при любых x.

• 

11 Теория пределов

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции по Гейне

Значение  называется пределом (предельным значением) функции  в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей  в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности  ), последовательность значений функции  сходится к .^[1]

Предел функции по Коши

Значение  называется пределом (предельным значением) функции  в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число  такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .^[1]

Теоремы о пределах

Пусть даны функции  и .

• Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.

Доказательство  [скрыть]

    Доказательство методом от противного. Пусть существует  и  и . Предположим A₁ < A₂. Возьмём , такое что A₁ + ε < A₂ − ε, т.е. .

, т.е. A₁ − ε < f(x) < A₁ + ε.

, т.е. A₂ − ε < f(x) < A₂ + ε.

Тогда получаем     Противоречие. Значит предел единственный.    

• Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,

где  — проколотая окрестность точки a.

• В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

• Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:

• Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.

• Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.

• Правило двух милиционеров

• Предел суммы равен сумме пределов:

• Предел разности равен разности пределов:

• Предел произведения равен произведению пределов:

• Предел частного равен частному пределов.