§10. Момент сили і момент імпульсу механічної системи. Момент інерції тіла відносно осі

Усяке тіло можна умовно поділити на таку кількість n малих частин, щоб роз­міри їх були малі порівняно з розмірами всього тіла. Отже, тіло завжди можна розглядати як систему з n матеріальних точок, причому маса m тіла дорівнює сумі мас усіх цих точок: .

Розглянемо закономірності руху твердого тіла, закріпленого в одній нерухомій точці О, навколо якої тіло може вільно обертатись. Точка О називається центром обертання твердого тіла. Сумістимо з цією точкою початок нерухомої системи координат. Тоді положення і-ої точки в просторі пов­ністю визначається радіус-вектором , який проведений з центра О в цю точку (рис. 15). Позначимо – рівнодійну всіх зовнішніх сил, які прикладені до і-ої точки.

Для характеристики зовнішньої механічної дії на тіло, яка приводить до зміни обертального руху тіла, введемо поняття моменту сили і моменту імпульсу.

Моментом сили відносно нерухомої точки О називається векторний добуток радіус-вектора , який проведений з точки О в точку прикладання сили, на силу :

.

Вектор напрямлений перпендикулярно до площини векторів і (рис. 16).

Модуль моменту сили

,

де – кут між і , а – плече сили – довжина перпендикуляра, опущеного з точки на лінію дії сили .

Момент сили характеризує здатність сили обертати тіло навколо точки, відносно якої він береться. Коли тіло може обертатися відносно точки О довільно, під дією сили тіло повертається навколо осі, яка перпендикулярна до площини, в якій лежать сила і точка О, тобто навколо осі, що збігається з напрямком моменту сили відносно даної точки.

Моментом сили відносно нерухомої осі ОZ називається скалярна величина , яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту сили, який визначений відносно довільної точки О даної осі OZ (рис. 17).

Значення моменту не залежить від вибору положення точки О на осі OZ.

Розкладемо вектор сили , що діє на точку , на три взаємно перпендикулярні складові (рис. 18): – паралельну до осі OZ, – перпендикулярну до осі OZ, і таку, що діє вздовж прямої, яка про­ходить через вісь, і – перпендикулярну до площини, яка проходить через вісь OZ і точку прикладання сили . Складова напрямлена по дотичній до кола радіусом з центром на осі OZ. Момент сили відносно точки O дорівнює сумі моментів складових:

_.

Вектори і перпендику­лярні до осі OZ, тому їх проекції на вісь OZ дорівнюють нулю. Момент утворює з віссю OZ кут і . Момент складової відносно осі OZ дорівнює:

.

Отже, момент сили відносно осі OZ дорівнює

.

Таким чином, сила , напрямок якої перетинає вісь OZ, не може викликати обертання навколо цієї осі, вона спроможна викликати її тиск на підшипники, в яких вона закріплена. Також сила , яка паралельна до осі OZ, не викличе відносно неї обертання. Момент сили відносно осі створюється лише тією складовою сили, яка лежить у площині, перпендикулярній до осі і не перетинає цю вісь. Момент сили відносно осі характеризує здатність сили обертати тіло навколо цієї осі.

Векторна сума моментів всіх зовнішніх сил, які прикладені до тіла, називається головним моментом зов­нішніх сил відносно точки :

.

Головний момент (результуючий момент) відносно нерухомої осі OZ системи сил дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх сил системи відносно цієї осі:

.

Моментом імпульсу матеріальної точки відносно нерухомої точки називається векторний добуток радіус-вектора матеріальної точки, який проведений з точки , на імпульс цієї матеріальної точки (рис.19):

.

Модуль вектора моменту імпульсу

.

Векторна сума моментів імпульсу всіх матеріальних точок тіла називається моментом імпульсу тіла відносно точки :

.

Моментом імпульсу тіла відносно нерухомої осі називається скалярна величина , яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту імпульсу тіла відносно довільної точки О на осі OZ.

Значення моменту імпульсу не залежить від положення точки О на осі OZ.

Знайдемо вираз для моменту імпульсу тіла відносно осі обертання. Проек­ція результуючого вектора на деяку вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на цю вісь усіх складових векторів:

.

Розглянемо обертання абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі OZ, орт якої збігається з напрямком кутової швидкості тіла (рис. 20). При цьому , де .

При обертанні тіла навколо осі OZ матеріальна точка масою рухається по колу радіусом із швидкістю . Швидкість й імпульс перпендикулярні до радіуса , і радіус-вектора , причому .

В результаті момент імпульсу тіла відносно осі

.

Швидкість і-ої точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі OZ з кутовою швидкістю , дорівнює:

.

Отже, .

Сума добутків мас усіх матеріальних точок тіла на квадрати їх відстаней до осі OZ називається моментом інерції тіла відносно цієї осі:

.

Отже, .

Момент імпульсу тіла відносно осі дорівнює добутку моменту інерції тіла відносно тієї самої осі на кутову швидкість обертання навколо цієї осі.

Ми ввели поняття моменту інерції, розглядаючи обертання твердого тіла. Однак момент інерції існує безвідносно до обертання. Всяке тіло, незалежно від того, чи обертається воно, чи знаходиться в стані спокою, має момент інерції відносно довільної осі.

Щоб обчислити момент інерції тіла, його поділяють на нескінченно велику кількість нескінченно малих елементів з масами . Тому суму замінимо інтегралом:

,

де - відстань від елемента до осі OZ. Момент інерції тіла залежить від матеріалу, форми і розмірів тіла, а також від розміщення тіла відносно осі.

Момент інерції тіла відносно довільної осі можна розрахувати, використавши теорему Штейнера: момент інерції тіла відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції тіла відносно паралельної до неї осі , що проходить через центр мас тіла, і добутку маси тіла на квадрат відстані між цими осями (рис. 21): .