§18. Диференціальне рівняння вимушених коливань і його розв’язання. Резонанс

Розглянемо коливання, що їх здійснює система, якщо на неї, крім пружної сили і сили опору , діє ще додаткова періодична сила F, яку називатимемо вимушуючою силою і яка змінюється за гармонічним законом

.

Диференціальне рівняння вимушених коливань, що відбувається вздовж осі OX, має такий вигляд:

,

де , , .

Загальний розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань дорівнює сумі загального розв’язку відповідного однорідного рівняння

,

де і частинного розв’язку неоднорідного рівняння. Доданок відіграє помітну роль лише на початковій стадії процесу виникнення коливань (рис. 37). З часом внаслідок експоненціального множника роль доданка зменшується, амплітуда вимушених коливань зростає, доки не досягне значення A.

Отже, усталені вимушені коливання системи, які виникають під дією сили F, також є гармонічними, тобто

,

причому їх циклічна частота дорівнює циклічній частоті вимушуючої сили.

Задача полягає в знаходженні амплітуди A і початкової фази .

Знайдемо і :

,

.

Підставивши вирази для , , і x у диференціальне рівняння вимушених коливань, отримаємо

.

З цього рівняння видно, що амплі­туда A і фаза повинні мати такі значен­ня, щоб гармонічне коливання дорівнювало сумі трьох гармонічних коливань, що знаходяться в лівій частині рівняння.

Введемо позначення

, , , .

Тоді

.

Щоб додати ці коливання, використаємо метод векторних діаграм. Відкладемо під кутом до осі ОХ за годинниковою стрілкою вектор , потім під кутом відносно вектора проти годинникової стрілки побудуємо вектор і вектор , який повернутий на кут відносно вектора . Додавши три вектори , , , отримаємо вектор (рис. 38).

З рис. 38 видно, що

,

і, відповідно,

.

Звідси

.

Амплітуда усталених вимушених коливань прямо пропорційна до амплітуди вимушуючої сили , обернено пропорційна до маси m системи і зменшується із збільшенням коефіцієнта загасання.

Із рис. 38 можна отримати значення - зсув мас між зміщенням і вимушуючою силою:

.

Якщо , m і сталі, то амплітуда усталених вимушених коливань залежить тільки від співвідношення між циклічними частотами вимушуючої сили і вільних коливань системи .

Розглянемо залежність амплітуди A вимушених коливань від частоти і побудуємо криві (рис. 39) при різних значеннях коефіцієнта згасання . Чим менше , тим вище і правіше лежить максимум кривої. Якщо , то

.

в такому разі коливання не здійснюються, а відхилення називається статичною амплітудою. При всі криві асиптотично прямують до нуля. Якщо загасання немає , то амплітуда коливань зростає із зростанням циклічної частоти вимушуючої сили і при стає нескінченно великою.

Якщо є згасання , то амплітуда досягає максимального значення, коли вираз , що є в знаменнику співвідношення для A, досягає мінімуму. Це відбувається, коли

.

Виконуючи диференціювання, от­римуємо

.

Це рівняння має два розв’язки: , . Розв’язок відповідає максимуму знаменника виразу для A. Із інших двох розв’язків лише додатний має фізичний сенс.

Отже, резонансна частота – частота, при якій амплітуда A коливань досягає максимального значення, – має такий вигляд.

.

Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти вимушуючої сили до частоти називається резонансом.

Для консервативної системи , а для дисипативної системи трохи менша від власної частоти системи.

Підставивши у вираз для амплітуди A, отримаємо вираз для амплітуди при резонансі:

.

При малому згасанні  амплітуда при резонансі приблизно дорівнює

,

де – добротність коливної системи. Отже, добротність характеризує резонансні властивості коливної системи: чим більше значення , тим більше .

З виразу видно, що у випадку зміщення коливної системи і вимушуюча сила мають однакові фази; у всіх інших випадках . Залежність від при різних значеннях наведена на рис. 40. При , при незалежно від значення , тобто вимушуюча сила випереджує за фазою зміщення на . При подальшому збільшенні зсув фаз зростає і при >> , тобто фаза зміщень коливальної системи майже протилежна до фази зовнішньої вимушуючої сили.