Фізичні основи механіки

I. Фізичні основи механіки §1. Швидкість і прискорення

Матеріальна точка, рухаючись, описує деяку лінію в просторі. Ця лінія називається траєкторією. Залежно від форми траєкторії рух може бути прямолінійним або криволінійним.

Розглянемо рух матеріальної точки вздовж довільної криволінійної траєкторії (рис. 1)

Положення точки, що рухається вздовж траєкторії будемо задавати радіус-вектором , який проведений в цю точку з точки О, яка прийнята за початок координат. Оскільки декартові координати точки x, y, і z числово збігаються з проекціями вектора на осі координат, то має місце розкладання:

,

де , , – одиничні вектори (орти) вздовж додатних напрямків осей OX, OY, OZ відповідно. Довжина кожного з ортів дорівнює

.

Нехай матеріальна точка в момент часу t знаходиться в положенні А з радіус-вектором . Через проміжок часу точка переміститься в положення В з радіус-вектором .

Довжина ділянки траєкторії АВ, яка пройдена точкою з моменту початку відліку часу, називається довжиною шляху S. Довжина шляху, пройденого матеріальною точкою, є скалярною функцією часу S=S(t).

Вектор , проведений з початкового положення рухомої точки в положення її в даний момент часу, називається вектором переміщення.

Щоб охарактеризувати рух матеріальної точки, вводять векторну фізичну величину – швидкість, яка характеризує не тільки швидкість руху частинки вздовж траєкторії, але й напрямок в якому рухається частинка в кожний момент часу.

Нехай матеріальна точка рухається по якійсь криволінійній траєкторії (рис. 2).

Вектором середньої швидкості руху точки в інтервалі часу від t до називається відношення приросту радіус-вектора точки за цей інтервал часу до його величини :

.

Вектор напрямлений так само як , тобто вздовж хорди АВ.

Якщо у виразі для перейти до границі при , то отримаємо вираз для миттєвої швидкості рухомої матеріальної точки в момент проходження її через положення А траєкторії:

.

Миттєва швидкість - векторна величина, яка дорівнює першій похідній радіус-вектора рухомої точки за часом.

Вектор швидкості напрямлений вздовж дотичної до траєкторії в сторону руху.

Продиференціюємо за часом вираз для радіус-вектора , враховуючи, що , , – сталі вектори. У результаті отримаємо вираз

.

Швидкість можна також подати у вигляді:

,

де , , - проекції швидкості на координатні осі. Порівнюючи ці два вирази для , отримаємо:

, , .

Таким чином, проекції швидкості дорівнюють похідним відповідних координат за часом.

Модуль швидкості можна обчислити через проекції швидкості:

.

Числове значення миттєвої швидкості дорівнює першій похідній за часом від :

.

Якщо вираз проінтегрувати за часом в межах від t до , то отримаємо довжину шляху, який пройдений точкою за час :

.

Довжина шляху, який пройдений точкою за проміжок часу від t₁ до t₂,

.

У випадку нерівномірного руху числове значення миттєвої швидкості стале і

.

У випадку нерівномірного руху век­тор швидкості змінюється і за величиною і за напрямком. Для характеристики зміни швидкості введемо поняття прискорення.

Нехай точка в положенні А в момент часу t має швидкість . За час t рухома точка перейде в положення В і набуде швидкості (рис. 3), яка відмінна від як за модулем, так і за напрямком і . Перенесемо вектор в точку В і знайдемо .

Середнім прискоренням нерівно­мірного руху в інтервалі часу від t до t+t називається вектор , який дорівнює відношенню приросту вектора швидкості точки до проміжку часу  t:

.

Вектор збігається за напрямком з вектором зміни швидкості .

Миттєвим прискоренням точки в момент часу t називають векторну величину , яка дорівнює границі середнього прискорення, якщо :

.

Прискорення точки дорівнює першій похідній від її швидкості за часом.

Диференціюючи за часом співвідношення

,

отримаємо для прискорення вираз:

.

Це саме прискорення можна виразити через його проекції на координатні осі:

.

Порівнюючи ці два вирази для прискорення, випливає, що

, ,

Таким чином, проекції прискорення дорівнюють другим похідним за часом від відповідних координат.

Розкладемо вектор зміни швидкості на дві складові: і так, щоб ВС=ВD=. Складова визначає зміну швидкості лише за величиною: якщо рух рівномірний, то і . Інша складова існує і при рівномірному русі, очевидно, в тому випадку, якщо рух тіла прямолінійний. Якщо кут , то і вектор стає перпендикулярним вектору швидкості . Таким чином, вектор прискорення можна зобразити у вигляді суми двох взаємно перпендикулярних векторів:

Величина називається тангенціальним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості лише за величиною і напрямлене вздовж дотичної до траєкторії. Числове значення вектора дорівнює:

.

Величина називається вектором нормального прискорення і характеризує зміну швидкості лише за напрямком. Це прискорення завжди перпендикулярне до напрямку швидкості. Для його обчислення припустимо, що точка В досить близька до точки А, тому можна вважати дугою кола радіусом R, при цьому за величиною ця дуга мало відрізняється від хорди АВ. З подібності трикутників ОАВ і BDC отримаємо:

і .

Таким чином

.

Отже, повне прискорення матеріальної точки дорівнює векторній сумі її тангенціального і нормального прискорень (рис. 4):

.

Модуль прискорення точки

.

Напрямок повного прискорення визначається кутом між векторами і . З рис. 4 видно, що:

.

Розглянемо рівнозмінний прямолінійний поступальний рух тіла вздовж осі ОХ.

Оскільки

,

то

і .

Враховуючи, що , отримуємо:

.

В результаті залежність від часу координати х будь-якої точки має вигляд:

.

Тут і - значення х і в момент часу t=0.