Следовательно, используя формулу (3), получаем

2. Методические указания по выполнению

контрольной работы N 3

Применение правила Лопиталя к нахождению

предела функции

[5],гл.1,16; [3],т.1,гл.4,§§4-5; [8],гл.7,§2; [9],гл.11,§9, [10]

При отыскании предела подстановка предельного значения в ряде случаев приводит к неопределенным выражениям типа: . Тогда вычисление заданного предела называют раскрытием неопределенности соответствующего типа. Обычно при этом используют правило Лопиталя.

4.3.1. Раскрытие неопределенностей типа и

Непосредственно применять правило Лопиталя можно только для раскрытия неопределенностей типа или . Согласно этому правилу, предел отношения двух бесконечно малых (или двух бесконечно больших) существует и равен пределу отношения их производных:

если выполнены условия:

1) функции f(x), g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки х = а и g'(х) ≠ 0 в этой окрестности (кроме, может быть самой точки а);

2)

3) существует (конечный или бесконечный), при этом а может быть как числом, так и одним из символов:

Пример 28. Найти

Решение: Поскольку

и то имеем неопределенность типа . Функции дифференцируемы на всей числовой оси. Найдем предел отношения их производных:

Так как этот предел существует, то согласно правилу Лопиталя:

Замечание. Если предел отношения производных вновь представляет собой неопределенность типа или , то правило Лопиталя применяется еще раз.

4.3.2. Раскрытие неопределенностей типа и

Неопределенность типа или следует вначале путем тождественных преобразований привести к неопределенностям типа или , для раскрытия которых можно непосредственно применить правило Лопиталя.

Пример 29. Найти

Решение: При аргумент логарифмической функции Так как и , то возникает неопределенность типа . Обычно в таких случаях один из сомножителей записывают в знаменатель данного выражения:

Получена неопределенность типа , к которой применимо правило Лопиталя:

(поскольку ). Здесь имеет место неопределенность типа , для раскрытия которой снова применяем правило Лопиталя:

Пример 30. Найти

Решение: Выражение в скобках, представляющее собой неопределенность типа , приводим к общему знаменателю:

Полученную неопределенность типа раскроем по правилу Лопиталя (в ходе вычислений это правило применено дважды):

4.3.3. Раскрытие неопределенностей типа

При раскрытии указанных неопределенностей используются:

а) основное логарифмическое тождество (в частности, );

б) непрерывность показательной функции, в силу чего:

Пример 31. Найти .

Решение: Поскольку , имеем неопределенность типа . Найдем вначале предел логарифма заданной функции: . Здесь возникла неопределенность типа . Если учесть, что , то перейдем к неопределенности типа , которую можно раскрыть по правилу Лопиталя:

Теперь используем основное логарифмическое тождество и свойство непрерывности показательной функции:

Таким образом, для вычисления в случае неопределенностей , применяем правило:

.