
- •Математика, ч.1
- •1. Информация о дисциплине
- •1.1. Предисловие
- •1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы
- •2. Рабочие учебные материалы
- •2.1. Рабочая программа
- •Математика, I семестр
- •2.1.1. Основы линейной алгебры (25 часов) [1]
- •2.1.2. Основы векторной алгебры (8 часов) [1],[2]
- •2.1.3. Аналитическая геометрия (40 часов) [2]
- •2.1.4. Введение в математический анализ (62 часа) [3]
- •Математика, II семестр
- •2.1.5. Дифференциальное исчисление функций
- •2.1.6. Элементы высшей алгебры (14 часов) [3]
- •2.1.7. Неопределенный и определенный интегралы (38 часов) [3]
- •2.1.8. Функции нескольких переменных (32 часа) [3]
- •2.2. Тематический план дисциплины (1 курс)
- •2.2.1. Заочная форма обучения
- •2.2.2. Дневная форма обучения
- •2.2.3. Очно-заочная форма обучения
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины «Математика»
- •2.4. Практический блок Практические занятия
- •3. Информационные ресурсы дисциплины Библиографический список
- •4.1.2. Матрицы и операции над ними
- •4.1.3. Векторы, операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов
- •Зная координаты перемножаемых векторов , можно вычислить скалярное произведение
- •4.1.4. Приложение векторной алгебры к задачам аналитической геометрии
- •4.1.5. Геометрические образы уравнений на плоскости и в пространстве
- •Вычисление пределов с использованием теорем
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Раскрытие неопределенностей
- •Вычисление пределов с использованием эквивалентных бесконечно малых величин
- •Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции
- •4.2.6. Производная и дифференциал
- •Вычисление производных
- •4.2.7. Дифференцирование сложной функции
- •4.2.8. Геометрический смысл производной и дифференциала функции
- •4.2.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Следовательно, используя формулу (3), получаем
- •Применение правила Лопиталя к нахождению
- •4.3.2. Раскрытие неопределенностей типа и
- •4.3.3. Раскрытие неопределенностей типа
- •4.3.4. Применение производной к исследованию функции. Построение графиков функций
- •Промежутки монотонности и точки экстремума функции
- •4.3.5. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •4.3.6. Асимптоты графика функции
- •4.3.7. Общий план исследования функции
- •Комплексные числа
- •Неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •4.3.8. Метод замены переменной интегрирования (метод подстановки)
- •4.3.9. Метод интегрирования по частям
- •4.3.10. Интегрирование дробно-рациональных функций от различных выражений
- •Определенный интеграл
- •4.4.2. Несобственный интеграл от неограниченной функции
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •4.4.3. Вычисление площадей плоских фигур
- •4.4.4. Вычисление длин дуг кривых
- •4.4.5. Вычисление площадей поверхностей вращения
- •4.4.6. Вычисление объемов тел вращения
- •Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Частные производные
- •Полный дифференциал
- •Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в ограниченной области
- •4.5. Задания на контрольные работы nn 1-4
- •Задание на контрольную работу № 1
- •Задание на контрольную работу № 2
- •В задачах 71-80 найти первую производную функции
- •Задание на контрольную работу № 3
- •В задачах 131-140 найти неопределенные интегралы, используя для вычислений формулу интегрирования по частям.
- •Задание на контрольную работу № 4
- •4.6. Текущий контроль Тестовые задания
- •Содержание
4.2.6. Производная и дифференциал
[4],§4; [3],т.1,гл.3,§§2-16; [8],гл.7,§1; [9],гл.2,§§1-6
Вычисление производных
Основные правила дифференцирования:
Если функция и(х) и v(x) дифференцируемы в точке х, то в этой точке:
Таблица производных:
Пример
21. Найти
производную функции
Решение: Используем первое и второе правила дифференцирования
Далее используем формулу для нахождения производной степенной функции (табличная формула N 2):
Пример
22. Найти
производную функции
Решение: Используем правило дифференцирования произведения и табличные формулы N 4 и N 11:
Пример
23. Найти
производную функции
Решение: Используем правило дифференцирования частного и табличные формулы N 9 и N 13:
4.2.7. Дифференцирование сложной функции
Производная сложной функции у = f(u(x)) вычисляется по формуле
То есть, чтобы найти производную сложной функции, нужно сначала продифференцировать "внешнюю" функцию по промежуточному аргументу и так, как если бы аргумент и был независимой переменной, после чего умножить полученный результат на производную от функции и по переменной х.
Это правило распространяется на сложную функцию, состоящую из любого конечного числа дифференцируемых функций.
Пример
24. Найти
производную функции
Решение:
Данная
функция - сложная, промежуточный аргумент
.
Согласно приведенному правилу имеем
Пример
25.
Найти производную функции
Решение:
Данная
сложная функция составлена из трех
функций
где
Применяем правило
дифференцирования сложной функции
(начиная дифференцировать
с "внешней" функции f
):
4.2.8. Геометрический смысл производной и дифференциала функции
Пусть
в декартовой прямоугольной системе
координат задана кривая,
являющаяся графиком функции
и
на ней точка
Производная
функции
геометрически
представляет собой
угловой
коэффициент касательной к графику
функции в точке с абсциссой
,
т.е.
(см.
рис.12). Тогда уравнение
касательной
к кривой
в
точке
имеет
вид:
Дифференциал
функции f(x)
в
точке
находится по формуле
,
т.е. равен произведению производной
функции в
заданной точке на дифференциал(приращение)
независимой переменной. Геометрически
дифференциал функции
в точке
представляет
собой приращение
ординаты касательной к
графику функции в
точке
и при
являются
эквивалентными бесконечно малыми.
Поэтому справедливо приближенное
равенство
~
dy,
позволяющее
приближенно заменять приращение функции
дифференциалом.
Пример
26. Найти
координаты точки пересечения с осью Оу
касательной
к кривой
,
где
,
проведенной к ней в точке
Решение:
Уравнение
касательной к кривой
в точке
имеет
вид
.
Найдем
сначала производную
:
Вычислим
тогда уравнение касательной к заданной
кривой в точке Мо(-1,4)
запишется в виде:
Теперь находим координаты точки пересечения полученной прямой с осью Оу.
Для
всех точек, лежащих на оси
,
.
Подставим в уравнение касательной
,
получим
.
Значит, касательная
пересекает ось
в
точке (0,8).
4.2.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически
Производная
функции
,
заданной
в параметрической форме:
,
находится
по формуле
(2)
Пример
27. Найти
производные
и
функции
заданной
в параметрической форме
Решение:
Вычислим
и
:
Используя формулу (2), получим
Итак,
Так как
,
то для нахождения
можно использовать ту же формулу
дифференцирования функции, заданной
параметрически, применив ее к функции
,
то есть:
(3)
Вычислим
: