1. Проверка гипотез о значении параметров распределения

Пусть случайная величина Х распределена нормально по закону N(а, ) с неизвестными параметрами а, и наблюдается в выборке х_B={x_i, n} объема n. Нормальный закон распределения N(а,) задается следующей функцией плотности распределения вероятности:

f_X(x)=; M[Х]=а, D[Х]=^.

По данным выборки х_В={х_i, n} могут быть получены выборочное среднее и выборочный стандарт :

=,  =.

Эти величины являются случайными и по ним могут быть построены оценки математического ожидания и дисперсии наблюдаемой в выборке случайной величины Х.

Ниже проверим ряд простых статистических гипотез об истинных значениях параметров нормальной случайной величины Х.

1.1. Н₀={а=а₀}. Проверим сначала гипотезу о равенстве значения истинного (гипотетического) математического ожидания а некоторой величине а₀. Основная гипотеза тем самым будет следующей Н₀={а=а₀}. В качестве критерия К возьмем случайную величину имеющую, при справедливости основной гипотезы, распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы:

f_K( k H₀ ) =t(k,n-1), М[K]=0, D[K]=(n-1)/(n-3)

Задаваясь уровнем значимости для проверяемой гипотезы Н₀ , будем строить критическую область К_кр в зависимости от вида единственной конкурирующей (альтернативной) гипотезы H₁ в следующих случаях:

Случай А: Н₁={а>а₀}. В этом случае при справедливости конкурирующей гипотезы ожидаем сдвиг вероятных значений критерия К в большую сторону (рис.14.1), поэтому критическая область критерия будет правосторонней К_кр={k>k_кр}. Критическая точка k_кр однозначно определяется из условия равенства вероятности ошибки I-рода заданному уровню значимости P(k>k_кр) = .. Решение этого уравнения k_кр=T_кр(, n-1) представляет собой правостороннюю квантиль распределения случайной величины Стьюдента и приводится в приложении 3.

Рис. 14.1 Критические области гипотезы Н₀={а=а₀}.

Случай Б: Н₁ ={а<а₀}. В этом случае критическая область критерия будет левосторонней К_кр={k<k_кр}, а значения критерия отрицательными (рис.14.1). Критическая точка k_кр определяется из уравнения P(k<k_кр)=, решение которого, в силу симметрии распределения Стьюдента, будет следующим k_кр=T_кр(, n-1).

Случай В: Н₁={а  а_}. В этом случае критическая область критерия будет двухсторонней К_кр={k<k_кр.л ; k>k_кр.п }. Однако здесь критические точки k_кр.л и k_кр.п не определяются однозначно из уравнения P(k<k_кр.л)+P(k>k_кр.п)=Доказано [9], что при условии P(k<k_кр.л)=и P(k>k_кр.п) = мощность критерия 1- по отношению к конкурирующей гипотезе Н₁ будет максимальной, тогда из этих уравнений критические точки находятся однозначно и представляет собой двухстороннюю квантиль распределения случайной величины Стьюдента:

k_кр.л =_кр( , n-1); k_кр.п =T_кр( , n-1).

Рассмотрим числовой пример: Пусть по выборке объема n=16 получена оценка математического ожидания наблюдаемой нормальной случайной величины =10,2 и оценка среднеквадратического отклонения S=6,5. Поскольку каждая оценка есть величина случайная (получена по конкретной случайной выборке), то проверим гипотезу о том, что истинное математическое ожидание наблюдаемой величины равна 15 т.е. Н₀ ={а=15}. Зададимся уровнем значимости гипотезы и альтернативной гипотезой Н₁={а}. Наблюдаемое значение критерия k_набл=(10,2-15)4/6,5=-2.954. Критическая область К_кр двухсторонняя, а критические точки будут:

k_кр.л =-T_кр( , 15) =-2,13; k_кр.п =+T_кр( 0.025, 15)=2,13

Видим, что k_набл принадлежит критической области и значит, гипотеза отвергается, т.е. отличие наблюдаемого значения математического ожидания от гипотетического значительны.

1.2. Н₀={^=_^}. Проверим теперь гипотезу о том, что истинная (гипотетическая) дисперсия случайной величины равна _^Проверяемая гипотеза Н₀={^=_^}. В качестве критерия возьмем одномерную случайную величину К, имеющую распределение «хи-квадрат» с n-1 степенями свободы:

, f_K( k H₀ ) =²(k,n-1), M[K]=(n-1), D[K]= 2(n-1).

Задаваясь уровнем значимости для проверяемой гипотезы Н₀ будем строить критическую область К_кр в зависимости от вида единственной конкурирующей (альтернативной) гипотезы H₁ в следующих случаях (рис.14.1),:

Случай А: Н₁={^>_^}. В этом случае при справедливости конкурирующей гипотезы ожидаем сдвиг наиболее вероятных значений критерия К в большую сторону, поэтому критическая область будет правосторонней.

Рис. 14.2 Критические области гипотезы Н₀={^=_^}.

критическая точка k_кр здесь однозначно определяется согласно общего подхода к построению критических областей критерия из условия равенства вероятности ошибки I-рода заданному уровню значимости :

P(k>k_кр) = = 

Решение этого уравнения k_кр =²_кр(, n-1) находятся однозначно и представляет собой правостороннюю квантиль распределения «хи-квадрат» случайной величины и приводится в приложении 4.

Случай Б: Н₁ ={^ < _^}. В этом случае критическая область критерия будет левостороннейа критическая точка однозначно определяется из уравнения :

P(k<k_кр) = = 

Таблиц его решений обычно не строится, поскольку левосторонняя критическая точка может быть легко выражена через функцию для правосторонней критической точки. Действительно, т.к. P(k<k_кр)+ (k>k_кр)=1, то P(k>k_кр)=1- и тогда решение для левосторонней точки будет следующим k_кр =²_кр(1-, n-1).

Случай В: Н₁={^ _^}. В этом случае, объединяющем два предыдущих случая, критическая область критерия будет двухсторонней

однако здесь критические точка k_{кр.л ,} k_кр.п не определяется однозначно из уравнения

P(k<k_кр.л) + P(k>k_кр.п) = = 1-

Доказано [9], что при условиях P(k<k_кр.1)= и P(k>k_кр.2)=мощность критерия 1- по отношению к конкурирующей гипотезе Н₁ будет максимальной, тогда из этих двух условий критические точки находятся однозначно:

k_кр.л =²_кр( 1-, n-1); k_кр.п =²_кр( , n-1).

Рассмотрим числовой пример: Пусть по выборке объема n=15 получена оценка дисперсии наблюдаемой нормальной случайной величины S²=40,25 или оценка среднеквадратического отклонения S=6,5. Поскольку, каждая оценка есть величина случайная (получена по конкретной случайной выборке), то проверим гипотезу о том, что истинная дисперсия наблюдаемой величины равна 36 т.е. Н₀={^=36}. Зададимся уровнем значимости гипотезы и альтернативной гипотезой Н₁ ={^ }.

Наблюдаемое значение критерия k_набл =(15-1)40.25/36 =15.653. Критическая область К_кр двухсторонняя, а критические точки будут:

k_кр.л =²_кр( 1-, 14) = 5.63; k_кр.п =²_кр( 0.025, 14) =26.1

Видим, что k_набл не принадлежит критической области и значит, гипотеза принимается, т.е. отличия наблюдаемого значения дисперсии от гипотетического незначительны. Если бы такая оценка дисперсии была получена по выборке меньшего объема n=7, то

k_кр.л =²_кр( 1-, 6) = 14.4; k_кр.п =²_кр( 0.025, 6) =1.24;

тогда наблюдаемое значение критерия k_набл попадает в критическую область и проверяемая гипотеза отвергается.

Отметим, что при проверке гипотез Н₀={а=х_ср} и Н₀={^=S²} при уровне значимости будут построены двухсторонние критические области такими, что область принятия гипотез К_пр совпадет с доверительными интервалами, построенными с надежностью ..