2. Независимость событий

Понятие «независимости» играет ключевую роль в теории вероятностей: оно выделило теорию вероятностей из теории меры (ибо в теории вероятностей находятся вероятности различных событий – суть измеряется мера определенного множества по сравнению с множеством единичной меры).

Однако перейдём к понятию независимости. Если и два события, то естественно сказать, что событие не зависит от события , если знание того, что свершилось событие , никак не влияет на вероятность события . Иначе говоря (при условии >),

.

По определению условной вероятности:

.

Поэтому

.

Откуда

.

Последнее равенство и принято в теории вероятностей за определение независимости двух событий.

Итак, два события и называются независимыми, если

Прелесть этого определения ещё и в том, что оно годится и для случая, когда (в отличие от рассуждений в начале этого пункта).

___________________________________________

Пример. Безотказная работа прибора определяется работой двух узлов, соединённых последовательно. Вероятность безотказной работы -ого узла равна:

Узлы работают независимо друг от друга. Какова вероятность безотказной работы всего прибора.

Решение. Введём следующие обозначения:

- событие, состоящее в безотказной работе всего прибора;

- событие, состоящее в безотказной работе -ого узла прибора ().

Тогда в силу «последовательности» соединения

.

Поэтому

,

а в силу независимости работы узлов прибора (вероятность произведения равна произведению вероятностей)

Всякое последовательное соединение приводит к потере устойчивости в работе прибора!

3. Вероятность произведения событий

Это очень просто. Из определения условной вероятности (напишем определение наоборот):

следует, что вероятность произведения событий (в общем случае) равна

.

И всё! Новая формула готова!

Аналогично (от перемены букв в определении само определение не изменится!):

,

поэтому

.

Окончательно получается следующее утверждение.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на произведение условной вероятности другого события при условии, что первое событие произошло:

.

Приведём получаемую по индукции теорему об умножении конечного числа событий:

.

4. Теорема сложения вероятностей событий

Начнем с геометрической иллюстрации. Пусть рассматривается геометрическая вероятность в случае (плоский случай). Событие состоит в том, что бросаем точку на часть плоскости и попадаем в фигуру , а событие - попадаем в фигуру (см. рис. 3.2). Найдем вероятность того, что бросаем точку в область и попадаем в фигуру , обведенную на рисунке жирной линией. Эта фигура соответствует событию, состоящему в наступлении или события или события , т.е. события .

Рис. 3.2. Иллюстрация к теореме сложения вероятностей.

В силу геометрической вероятности эта вероятность равна

,

где - площадь фигуры , а - площадь области . Осталось найти площадь . Она равна

,

где - площадь фигуры , - площадь фигуры , - площадь общей части фигур и , «забитой» на рисунке пятнами. Тогда:

,

где по определению геометрической вероятности:

вероятность события ,

вероятность события ,

вероятность события .

Тем самым, мы приходим к равенству

,

которое и составляет содержание теоремы о сложении вероятностей совместных событий, но доказательство её в общем случае гораздо сложнее и его мы оставляем без внимания.

Теорема о сложении вероятностей совместных событий. Вероятность суммы совместных событий и равна:

.

Здесь слова «вероятность совместных событий» имеют принципиальное значение, т.к. для несовместных событий получается несколько иная теорема. Разберёмся в этом. Для несовместных событий и основным свойством является равенство (они вместе произойти не могут)

.

Поэтому теорема переписывается в следующем виде.

Теорема о сложении вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы несовместных событий и равна:

.

___________________________________________

Пример. «Не кладите все яйца в одну корзину.»

В два банка положены деньги (слава Богу, что некто догадался, что именно в «два»). Банки работают независимо друг от друга (часто встречающаяся ситуация). Вероятность разорения первого банка равна , а второго - . Какова вероятность того, что деньги сохранятся хотя бы в одном из банков.

Решение. Чтобы решить вероятностную задачу, главное, ввести правильные обозначения. Попробуем ввести следующие события.

- деньги взяты из первого банка,

- деньги взяты из первого банка.

Тогда событие означает, что деньги взяты либо из первого банка, либо из второго банка, либо из обоих банков сразу (вам очень повезло). А найти нужно именно вероятность этого события . По формуле сложения вероятностей совместных событий получаем:

.

Вероятность того, что первый банк останется «на плаву», составляет с вероятностью того, что первый банк разорится, в сумме (т.к. событие есть достоверное событие). Поэтому:

.

Аналогично найдем

.

А вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей , как произведение независимых событий. Поэтому:

.

То есть искомая вероятность получается больше вероятностей и , а, значит, права пословица!