![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Элементы комбинаторики и вычисление вероятности событий
- •2. Геометрические вероятности
- •1. Определение условной вероятности
- •2. Независимость событий
- •3. Вероятность произведения событий
- •4. Теорема сложения вероятностей событий
- •5. Формула полной вероятности
- •6. Формула Байеса
- •1. Формула Бернулли
- •2. Полиноминальная формула Бернулли
- •3. Теоремы Муавра-Лапласа
- •4. О границах применимости схемы Бернулли
2. Геометрические вероятности
Это
понятие касается следующего класса
задач. Представим себе, что на плоскости
расположены две области
и
,
причем область
целиком распложена в области
.
Их площади, соответственно, равны
и
.
В область
наудачу бросают точку. Какова вероятность
того, что точка попадёт также и в область
?
Если предположить,
что точка может попасть в любую часть
области
,
а вероятность попадания в область
пропорциональна лишь её площади и не
зависит ни от расположения
,
ни от её формы, то искомая вероятность
равна:
.
Это и есть так называемое «правило нахождения геометрической вероятности»[7].
Аналогично могут быть определены вероятности попадания точки:
1) в объёмную область
величиной
,
содержащуюся в объёмной области
величиной
;
2) на отрезок
величиной
,
расположенный на отрезке
величиной
,
если точка брошена
наугад в объём
или на отрезок
:
или соответственно
.
Пример.
Круглый диск радиуса
разбит на два сектора рис 2.2. Длина дуги
одного из них (заштрихованного) равна
радиусу
.
По быстро вращающемуся диску произведён
выстрел. Цель поражена. Найти вероятность
того, что попали в заштрихованную часть.
Решение.
Идеология решения задачи проста. Пусть
событие
есть событие, состоящее в том, что попали
именно в заштрихованную часть.
Тогда искомая вероятность равна
,
где
- площадь заштрихованной части,
- площадь круга (
).
Проблема лишь в
том, как найти площадь заштрихованной
части. Но
относится
к
также, как и длина дуги заштрихованной
части (
)
относится к длине круга (
)
Рис. 2.2. Иллюстрация что и требовалось найти.
геометрической вероятности.
Пример.
Задача Бюффона (или задача об игле) [7].
Пусть на плоскость, разлинованную
параллельными линиями с расстоянием
,
наудачу брошен отрезок (игла) длиной
.
Какова вероятность пересечения линии
иглой?
Событие
состоит в пересечении линии на плоскости.
Игла пересекает только одну линию в
силу ограничения
,
или не пересекает ни одной. Пусть
-
расстояние от центра иглы до ближайшей
линии, а
- угол наклона иглы к линиям. Тогда
множество всех равновозможных событий
,
а множество всех благоприятствующих
исходов для события
и оба эти множества изображены ниже на
рисунке. Вероятность события
вычисляется как геометрическая:
,
,
.
Рис 2.3. Иллюстрация к задаче Бюфона.
Лекция № 3
Вероятности сложных событий
Часто бывает ситуация, когда вероятность искомого события может быть вычислена через известные вероятности ряда более простых событий, наступление или не наступление которых и приводит к искомому событию.
1. Определение условной вероятности
Начнем с определения.
Определение.
Если
>
,
то частное
называется
условной
вероятностью
события
при условии
(или условной
вероятностью
события
при условии, что событие
произошло). Оно обозначается:
.
Смысл
условной вероятности открывается из
следующего рассуждения. Пусть
рассматриваются геометрические
вероятности. Событие
состоит в том, что бросаем точку на часть
плоскости
и попадаем в фигуру
,
а событие
- попадаем в фигуру
(см.
рис. 3.1). Тогда событие
состоит в том, что бросаем точку и она
попадает в общую часть фигур
и
(на
рис. эта часть забита точками).
Рис 3.1. Иллюстрация понятия условной вероятности.
Тогда
характеризует,
какую часть по отношению к части
(событию
)
составляет часть
(событие
).
Иными словами,
.
Вывод из сказанного
получается следующий:
действительно обозначает вероятность
того, что
произойдёт при условии, что
произошло.