Тема 2. Умножение векторов.
.
Даны векторы
.
Известны модули этих векторов и
углы между ними:
p
=
,
q =
,
r =
,
α =
,
β =
,
γ =
.
Вектор
является линейной
комбинацией
векторов
.
Найти модуль вектора
.
1.
= 2
- 3
,
p = 1, q = 2, α =
2.
=
+ 2
,
p = 3, r = 1, β =
3.
= 2
-
,
q = 4, r = 2, γ =
4.
=
- 2
,
p = 2, q = 1, α =
5.
=
+ 2
-
,
p = 1, q = 1, r = 2, α =
, β =
, γ =
6.
= 2
-
+
,
p = 1, q = 2, r = 1, α =
, β =
, γ =
7.
=
+ 2
+
,
p = 3, q = 1, r = 2, α =
, β =
, γ =
8.
= 2
-
-
,
p = 1, q = 2, r = 3, α =
, β =
, γ =
.
Даны единичные векторы
и угол между ними
α =
.
Векторы
и
являются
линейными комбинациями векторов
.
На векторах
и
построен
параллелограмм. Найти площадь S этого параллелограмма и длины его диагоналей d1 и d2.
d1
d2
1.
=
+ 3
,
= 3
-
,
α =
2.
= 3
+
,
=
-
,
α =
3.
=
- 2
,
=
+4
,
α =
4.
=
+ 3
,
=
- 5
,
α =
5.
= 2
-
,
=
+ 3
,
α =
6.
= 3
+
,
=
- 5
,
α =
7.
=
- 4
,
= 3
+ 2
,
α =
8.
=
+ 4
,
=
- 2
,
α =
.
Найти объем параллелепипеда,
построенного на векторах
,
,
,
если известны модули этих векторов и
углы между ними:
= a,
= b,
= c, α
=
,
β =
,
γ =
.
1.
a = 1,
b =
2, c
=
3,
α =
, β =
, γ =
2.
a = 2,
b =
2, c
=
3,
α =
, β =
, γ =
3.
a = 1,
b =
2, c
=
4,
α =
, β =
, γ =
4.
a = 2,
b =
1, c
=
2,
α =
, β =
, γ =
5.
a = 3,
b =
2, c
=
2,
α =
, β =
, γ =
6.
a = 2,
b =
3, c
=
3,
α =
, β =
, γ =
7.
a = 1,
b =
2, c
=
4,
α =
, β =
, γ =
8.
a = 2,
b =
3, c
=
2,
α =
, β =
, γ =
Дополнительные задачи.
1. В квадрат ABCD со стороной a вписана окружность. Точка M - произвольная точка этой окружности. Найти сумму MA2 + MB2 + MC2 + MD2.
2. Около квадрата ABCD со стороной a описана окружность. Точка M - произвольная точка этой окружности. Найти сумму MA2 + MB2 + MC2 + MD2.
3. В куб со стороной a вписана сфера. Точка M - произвольная точка этой сферы. Найти сумму квадратов расстояний от точки M до вершин куба.
4. Найти
отношение объема тетраэдра, построенного
на некомпланарных векторах
,
,
,
к объему тетраэдра, построенного на
векторах
+
,
,
.
Тема 3. Прямоугольная декартова система координат.
. Построить
вектор
в прямоугольной декартовой системе
координат и указать его направляющие
углы. Найти модуль и направляющие cos-ы
вектора
.
1.
2.
3.
4.
5.
6 .
7.
8 .
9.
10.
11.
12.
.
Даны векторы в прямоугольной декартовой
системе координат:
и
.
Вычислить:
1) скалярное произведение
2) проекции
,
3) векторное произведение
4) площадь параллелограмма, построенного
на этих векторах
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
5.
,
6.
,
7.
,
8.
,
9.
,
10.
,
11.
,
12.
,
. Даны векторы в прямоугольной декартовой системе координат:
,
,
.
Требуется:
1) вычислить
смешанное произведение
2) определить ориентацию этих
векторов
3) найти
объем
параллелепипеда, построенного на этих
векторах
1.
,
,
2.
,
,
3.
,
,
4.
,
,
5.
,
,
6.
,
,
7.
,
,
8.
,
,
9.
,
,
10.
,
,
11.
,
,
12.
,
,
. Даны
векторы
в прямоугольной декартовой системе
координат. Векторы
и
являются линейными комбинациями этих векторов. Определить:
- при каких значениях α и β
векторы
и
будут коллинеарны (№ 1 ÷
4)
- при каких значениях λ векторы
и
будут ортогональны (№ 5
÷ 8)
- при каких значениях λ векторы
,
и
будут компланарны (№ 9 ÷
12)
1.
= 2
+ 4
,
= 3
-
,
,
2.
=
+ 2
,
= 3
-
,
,
3.
= 5
+ 3
,
= 2
-
,
,
4.
= -2
+
,
= 3
- 2
,
,
5.
=
-
,
= 4
+ 2
,
,
6.
=3
- 2
,
= -2
+
,
,
7.
= 2
-
,
= -
+ 3
,
,
8.
= 2
- 3
,
= 2
+
,
,
9.
,
,
10.
,
,
11.
,
,
12.
,
,
Дополнительные задачи.
1.
Прямоугольная декартова система
координат OXY
на плоскости получена из прямоугольной
декартовой системы координат OXY
параллельным переносом на вектор
.
Произвольная точка M
на плоскости имеет координаты (x,
y) в одной системе
координат и (x,
y)
- в другой системе координат. Найти связь
между этими координатами.
,
M(x, y),
M(x,
y)
2. Прямоугольная декартова система координат OXY на плоскости получена из прямоугольной декартовой системы координат OXY путем поворота осей на угол . Произвольная точка M на плоскости имеет координаты (x, y) в одной системе координат и (x, y) - в другой системе координат. Найти связь между этими координатами.
,
M(x, y),
M(x,
y)
3. Даны
векторы в прямоугольной декартовой
системе координат:
,
,
.
Найти координаты вектора
,
если известно, что
= -5,
= -11,
= 20.
4. Даны
векторы в прямоугольной декартовой
системе координат:
,
.
Найти координаты вектора
,
если известно, что
,
,
= 14.