Тема 3. Системы линейных уравнений.
. Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
. Решить системы линейных уравнений матричным способом.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:
− исследовать систему по теореме Кронекера-Капелли;
− если система совместна, то найти общее решение в матричном виде и сделать проверку;
− если система совместна и неопределенна, то указать 3 частных решения в матричном виде.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
. Для однородной системы линейных уравнений найти общее решение в матричном виде и
сделать проверку. Указать фундаментальную систему решений.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Дополнительные задачи.
1. Найти многочлен P (x) 2-й степени, удовлетворяющий условиям: P (1) = -1, P (-1) = 9, P (2) = -3.
2. Найти многочлен P (x) степени не выше 2-х, удовлетворяющий условиям:
, где
,
,
,
,
,
- заданные числа (
,
,
- различные числа).
Следующие системы линейных уравнений исследовать на совместность и определенность в зависимости от значений λ, указать число базисных переменных r и число свободных переменных n - r:
3.
4.
5.
6.
Определить значения a, при которых однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения:
7.
8.
Найти фундаментальную систему решений (ФСР) следующих однородных систем линейных уравнений:
9.
10.
Найти общее решение следующих систем линейных уравнений:
11.
12.
Глава 2. В е к т о р н а я а л г е б р а
Тема 1. Линейные действия с векторами.
. Дан параллелограмм ABCD. Точки K, L, M, N - середины сторон параллелограмма,
=
,
=
.
Найти координаты вектора
в базисе
.
B
C
L
*
K
M
*
*
A
D
N
*
1.
=
2.
=
3.
=
4.
=
5.
=
6.
=
7.
=
8.
=
9.
=
10.
=
11.
=
12.
=
.
Дан параллелепипед ABCD
A1B1C1D1.
Точка K - центр грани
ABA1B1,
точка L - центр грани ABCD, точка M - центр грани AA1DD1, точка N - центр грани A1B1C1D1,
точка P
- центр грани BB1CC1,
точка Q - центр грани
CDC1D1,
=
,
=
,
=
.
Найти
координаты вектора
в базисе
.
A1
C1
D1
B1
C
A
B
DD
1.
=
2.
=
3.
=
4.
=
5.
=
6.
=
7.
=
8.
=
9.
=
10.
=
11.
=
12.
=
13.
=
14.
=
15.
=
16.
=
. Доказать,
что
- базис на плоскости и разложить вектор
по этому базису. Построить заданные
векторы в ортонормированном базисе.
1.
,
,
2.
,
,
3.
,
,
4.
,
,
5.
,
,
6.
,
,
Доказать, что
- базис в пространстве и разложить вектор
по этому базису.
7.
,
,
,
8.
,
,
,
9.
,
,
,
10.
,
,
,
11.
,
,
,
12.
,
,
,
Дополнительные задачи.
1. В
правильном 5-угольнике ABCDE
=
,
=
.
Разложить
вектор
по базису
.
C
B
D
A
E
2. В
правильном 5-угольнике ABCDE
=
,
=
.
Разложить
векторы
и
по базису
.
C
B
D
A
E
3. Точка
О - центр тяжести
ABC. Найти
+
+
.
B
O
A
C
4. Дана
пирамида ABCD,
=
,
=
,
=
.
Точка О - центр тяжести
ABC.
Разложить
вектор
по базису
.
D
B
A
C
O
