7 Вопрос

Предел функции в точке:

На ε-δ языке:

Число ε называется lim f при x→a, если

На языке последовательностей:

Число A называют lim f(x) при x→a, если

На языке окрестностей:

Число A называют пределом f(x) при x→a, если

Односторонние пределы:

Число A называется пределом функции f(x) при x→a справа, если

Число A называется пределом функции f(x) при x→a слева, если

Предел функции при :

Число A называется пределом функции f(x) при x→, если

8 Вопрос

Свойства функций, имеющих предел в точке:

Локальная ограниченность:

Если f(x) имеет lim в точке a, то существует и число k такие, что

Доказательство: по Коши: пусть lim f(x) = A при х→a. Возьмем =1. По определению предела для существует

Cохранение знака:

lim f(x) = A, A0 при x→a, тогда

1.

2.

Доказательство:

Возьмем . По Коши: , т.к.

1. Если A>0, то

2. Если A<0, то

Переход к пределу в неравенствах:

Пусть в некоторой при x→a, тогда

Доказательство: по Гейне: x_n→a, x_na. Построим две последовательности:

По условию:,

Арифметические операции:

Доказательство: по Гейне:

Дальнейшее доказательство очевидно.

9 Вопрос

Бесконечно малая: если .

Бесконечно большая: если

Свойства:

1. Если - б.м. при x→a, , то - б.б.

Доказательство: - б.б.

2. Если - б.б. при x→a, , то - б.м.

Доказательство: Аналогично первому.

3. Если - б.м. при x→a, а g(x) – ограниченная, то *g(x) – б.м. последовательность при x→a.

Доказательство: = x – б.м., x→0.

10 Вопрос

Определения непрерывности функции в точке:

Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если

Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если

Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если

Функция f(x) называется непрерывной в точке a для любой последовательности x_n→a, значение функции которой стремится к а. (f(x_n)) →a)

Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если

Свойства функций, непрерывных в точке:

Арифметические: сложение, вычитание, умножение, деление.

Доказательство: Если функции f и g непрерывны в точке a, то следует из свойств пределов функции в точке и непрерывности точке:

Непрерывность сложной функции: если f(x) непрерывна в точке a, а функция g(x) непрерывна в точке , такое, что a = g(), то сложная функция F(t)=f(g(t)) непрерывна в точке

Доказательство:

Локальная ограниченность функции в ограниченной точке: если функция f непрерывна в точке, то она ограничена в окрестности данной точки f в точке a и и число k такое, что

Сохранение знака: если f непрерывна в точке a и f(a) , то существует окрестность точки a, то такая, что

1.

2.

11 Вопрос

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.  Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

• Существуют левосторонний предел  и правосторонний предел ;

• Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.