3 Вопрос

Арифметические операции над последовательностями, имеющими предел:

Дано: lim x_n = a, lim y_n = b при n→∞.

1. Сложение (x_n+y_n = a+b).

2. Вычитание (x_n-y_n = a-b).

3. Умножение (x_n*y_n = a*b).

4. Деление (x_n/y_n = a/b, y_n и b ≠ 0).

Доказательство:

1. Из определений последовательностей:

ε > 0, n₁(ε), n > n₁:

ε > 0, n₂(ε), n > n₂:

Получим: . Доказано

2. Аналогично первому.

3.Т.к. последовательность сходящаяся, то она ограниченна =>

M>0, n: |x_n|M, M|b| :

|x_n-a| < ;

|y_n-b| < , где число M выберем позже.

< M*+ M* = .

4. Аналогично 3, только не забыть, что y_n и b ≠ 0, иначе деление на ноль.

4 Вопрос

Бесконечно малая:

Последовательность a_n называется бесконечно малой, если

Бесконечно большая:

Последовательность a_n называется бесконечно большой, если

Теорема о необходимом и достаточном условии существования предела последовательности:

Для того, чтобы число a было lim x_n, необходимо и достаточно, чтобы x_n = a + _n, где _n – б.м.

Доказательство:

1. Необходимость: Дано: x_n→a. Докажем, что при x_n→a существует _n, такое,

что x_n = a + _n:

_n = x_n – a,

lim _n = lim x_n – a, при n→a

lim x_n – a, при n→a равняется lim x_n – lim a = a – a = 0. Доказано.

2. Достаточность: Дано: x_n = a + _n:

Доказать: x_n = a.

lim x_n = lim(a + _n) при n→∞ равняется lim a + lim _n = a + 0 = a. Доказано.

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей:

1. Если _n – беск. малое, _n ≠ 0, то - бесконечно большое.

Доказательство:

2. Если _n – беск. большое, _n ≠ 0, то - бесконечно малое.

Доказательство: аналогично первому

3. Произведение б.м. последовательности на ограниченную последовательность есть б.м. последовательность.

Доказательство: Дано:

Докажем, что :

Возьмем

4. Если то . Только если последовательность отделима от нуля, т.е. c > 0.

Доказательство: нет.

5 Вопрос

Понятие функции:

Определение: Отношение f между А и В, при котором каждому элементу из А соответствует не более одного элемента из В называется функцией.

Способы задания функции:

Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

Монотонная функция:

Функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется строго монотонной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Ограниченная функция:

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M,

что |f ( x )| M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

Периодическая функция:

Функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода).

Называется периодической, если

Четная функция:

Функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).

Нечетная функция:

Функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).