1 Вопрос

Последовательность:

это набор элементов некоторого множества:

для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;
это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

Ограниченная последовательность - члены которой образуют ограниченное множество.

Ограниченное множество. 1. Множество действительных чисел называется ограниченным, если существует такое число М > 0, что для любого элемента х данного множества справедливо неравенство . Множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число Р, что для любого элемента х данного множества имеет место неравенство (соответственно ).

Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

2 Вопрос

Сходящиеся последовательности:

Определение. Последовательность {x_n} называется сходящейся, если существует такое вещественное число а, что последовательность {x_n−a} является бесконечно малой. Если последовательность {x_n→a } является сходящейся и имеет своим пределом число a, то символически это записывают так: lim x_n=a или x_n→a при n→∞ n→∞

Определение. Последовательность {x_n} называется сходящейся, если существует такое вещественное число a, что для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N(ε) такой, что при всех n>N элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству ∣x_n−a∣<ε При этом число a называется пределом последовательности. Неравенство (5) можно записать в эквивалентной форме −ε<x_n−a<+ε или, a−ε<x_n<a+ε . (5') Определение. Последовательность {x_n} называется сходящейся, если существует такое число a, что в любой ε-окрестности точки aнаходятся все элементы последовательности {x_n} начиная с некоторого номера (зависящего от ε).

Сходящаяся последовательность имеет только один предел:

Предположим, что два вещественных числа а и b являются пределами сходящейся последовательности {x_n}. x_n=a+a_n и x_n=b+b_n, где {a_n} и {b_n} - некоторые бесконечно малые последовательности. Получим a_n−b_n=b−a . Последовательность {a_n−b_n} является бесконечно малой, а в силу равенства a_n−b_n=b−a все элементы этой бесконечно малой последовательности равны одному и тому же вещественному числу b−a . Число b−a равно нулю, т. е. b=a. Теорема доказана.

Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной:

Доказательство. Пусть {x_n} - сходящаяся последовательность и a ее предел. Фиксируем некоторое положительное число ε и по нему номер N такой, что ∣x_n−a∣<ε при n≥N или, a−ε<x_n<a+ε при n≥N . Обозначим через A наибольшее из следующих (N+1) чисел: ∣a−ε∣,∣a+ε∣,∣∣x1∣∣,∣∣x2∣∣,...,∣∣х_N₋₁∣∣ . Тогда, очевидно, ∣x_n∣≤A для всех номеров n, а это и доказывает ограниченность последовательности {x_n}. Теорема доказана.

Переход к пределу в неравенствах:

Доказывается через ε-окрестности по рисунку:

Если x_n≥y_n и lim x_n=a и limy_n=b при x→∞, то: