Расчет элементов конструкций

ИЗ ДЕРЕВА ПО СНиП П-25-80 [1]

ЦЕНТРАЛЬНО-РАСТЯНУТЫЕ И ЦЕНТРАЛЬНО-СЖАТЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Центральное растяжение и сжатие

Основные расчетные формулы для проверки цент­рально-растянутых и сжатых элементов [1, п. 4.1., 4.2.]:

на прочность N/ А_нт≤ R _{р ;} N/ А_нт≤ R _c;

на устойчивость сжатых элементов N/ А_расч≤ φ R _c;

где

R_{р, с} - расчетное сопротивление древесины (сосны, ели), принимается по [1, табл. 3].

Расчетные сопротивления, приведенные в табл. 3, следует умножать на коэффициенты условий работы согласно [1,п. 3.2]:

а) для различных условий эксплуатации конструкций – на значения коэффициент m_в, указанные в табл. 5;……..

и) для растянутых элементов с ослаблением в расчетном сечении и изгибаемых элементов из круглых лесоматериалов с подрезкой в расчетном сечении – на коэффициент m_о = 0,8.

А_нт - площадь нетто ослабленного сечения. Ослабления для растянутого элемента считаются совмещенными в одном сечении, если расстояние между ними меньше 200 мм;

А_расч - расчетная площадь сжатого элемента, принимается равной А_бр - без ослаблений или при площади ослаблений А_осл < 25% А _бр;

(4/3)А_нт - при площади ослаблений > 25% А _бр;

А_нт - при симметричных ослаблениях, выходящих на грань сечения;

φ - коэффициент продольного изгиба находится по гибкости элемента λ [1, п. 4.3.].

Для древесины коэффициент φ подсчитывается по формулам:

при λ ≤ 70 φ ═ 1-0,8(λ/100) ²

при λ ≥ 70 φ ═ 3000/ λ²

Для других материалов значения коэффициентов φ можно подсчитать по формулам [1].

Гибкость элемента определяется по формуле [1, п. 4.4.]:

λ ═ ℓ₀ /r ═ μ_оℓ/√J/А

где ℓ₀ _ расчетная длина элемента [1, п. 4.5.; п. 4.21. п. 6.25.];

r - радиус инерции сечения;

μ₀ - коэффициент приведенной длины (для деревянных конструкций) принимается равным :

1 - для шарнирно опертого стержня;

2,2 - для стержня с одним защемленным и другим свободным концами;

0,8 - для стержня с одним защемленным и другим шарнирно опертым концами;

0,65-для защемленного с двух концов стержня.

Для прямоугольного сечения размером bh радиусы инерции можно подсчитывать по формулам:

r_х = 0,289h, r_у = 0,289в.

Для круглого сечения диаметром d радиусы инерции r_х = r_у = d/4.

Гибкость элементов не должна превышать предельных величин, установленных [1, табл.14].

Примеры решения

Задача 1. Найти несущую способность растянутого элемента. Исходные данные: h = 200мм; b = 150мм; а=120мм; с=300мм; d=16мм; материал - лиственница; сорт древесины 1; условия эксплуатации А1.

Рис. 1

Решение. Несущую способность элемента при заданных условиях задачи вычисляем по формуле

N = т₀ т_п т_в R _р A_нт

где т₀ - коэффициент, учитывающий наличие ослаблений, равен 0,8;

т_п - коэффициент перехода на породу дерева, для лиственницы равен 1,2 [1, табл. 4];

т _в - коэффициент, учитывающий условия эксплуатации (группу конструкций), равен 1,0 [1, табл.5];

R_р - расчетное сопротивление древесины (сосны, ели), принимается по [1, табл. 3 п. 2. а] и равно 10 МПа.

Для вычисления A_нт выбираем самый опасный участок, где на расстоянии 200 мм имеет место наибольшая площадь ослаблений (не попадающих при перемещении вдоль волокон одно на другое). Такой участок будет на участке с отверстиями 1, 2 и 3.

А_нт = bh - 3db= 20•15 - 3•1,6•15 = 228 см².

Несущая способность растянутого элемента

N = 0,8•1,2•1,0•10•0,0228 = 0,21888 мН = 218,88 кН.

Задача 2. Найти несущую способность центрально-сжатого стержня

Исходные данные: h = 200мм; b = 150мм; а=150мм; ℓ =3000мм; d=55 мм; материал - пихта; сорт древесины 2; условия эксплуатации А3; условия закрепления концов стержня в плоскостях х-х и у – у: шарнирное (Ш-Ш).

Рис. 2.

Решение. Несущая способность центрально-сжатого стержня с учетом его устойчивости подсчитывается по формуле

N =φ т_п т_в R_с A_расч

где т_п = 0,8 [1, т.4]; т_в = 0,9 [1, т.5];

R_с = 13 МПа (для сосны второго сорта) Поскольку сечение ослаблено отверстием d= 55 мм, площадь ослабления равна

А_осл = dh= 5,5•20 = 82,5 см², что составляет 100 %•82,5/20•15 = 27,5 % > 25 %.

Расчетная площадь сечения при проверке устойчивости

А_расч = (4/З) А_нт = (4/3)(300-82,5) = 290 см².

Для определения коэффициента φ подсчитаем гибкость элемента:

λ_х = μ_оℓ/0,289 b = 1,0•300/0,289•15 = 69,2

λ_у = μ_оℓ/0,289 h = 1,0•300/0,289•20 = 51,9

Расчет ведем на большую гибкость λ_х = 69,2

Для гибкости λ<70 определяем коэффициент φ

φ ═ 1-0,8(λ/100)² ═ 1-0,8(69,2/100) ²=0,617

Несущая способность стержня

N = 0,617•0,0290•0,8•0,9•13= 0,1692 мН = 169,2кН.

Задача 3. Проверить несущую способность центрально-сжатого стержня. Исходные данные: N = 100Кн; h = 225мм; b = 150мм; с=20мм; ℓ =4000мм; материал - сосна; сорт древесины 2; условия эксплуатации А1, условия закрепления концов стержня в плоскости х-х: защемление и шарнирное опирание (З-Ш) и в плоскости у – у: шарнирное опирание (Ш-Ш).

Рис. 3.

Решение. Проверка несущей способности центрально-сжатого стержня производится по формуле

N =φ т_п т_в R_с A_расч

Для рассматриваемого варианта т_п = 1,0;

т_в = 1,0;

R_с = 13 мПа.

Сечение имеет симметричное ослабление, выходящее на кромку сечения. Для такого стержня

A_расч = А_нт =(15•22,5) - 2•2•15 = 277,5 см²

Гибкость стержня

λ_х = μ_оℓ/0,289 h = 0,8•400/0,289•22,5 = 49,2

λ_у = μ_оℓ/0,289 b = 1,0•400/0,289•15 = 92,3

Наибольшая гибкость λ_у = 92,3 > 70, для нее коэффициент продольного изгиба

φ ═ 3000/ λ² ═ 3000/92,3²=0,352

Проверка несущей способности стержня:

N = 100 кН < φ т_п т_в R_с A_расч = 0,352•0,02775•1,0•1,0•13000 = 126,98 кН.

Вывод: несущая способность стержня достаточна.

ИЗГИБАЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Основные расчетные проверочные формулы поперечно изогнутых элементов следующие:

Ϭ ═ М/W_нт ≤ R_и;

τ ═ QS/Jb≤ R_ск или 1,5Q/bh - для прямоугольного сечения;

М/W_бр ≤ φ_м R_и; где φ_м ═ 140 k_ф b/hℓ_р;

f/ℓ ≤ |f/ℓ|

В написанных формулах приняты следующие обозначения:

М - изгибающий момент в проверяемом сечении;

Q- поперечная сила;

J - момент инерции поперечного сечения;

W_нт - момент сопротивления нетто проверяемого сечения;

S- статический момент сдвигаемой части сечения относи­тельно нейтральной оси;

b, h - размеры поперечного сечения;

k_ф - коэффициент, учитывающий форму эпюры изгибающих моментов на участке ℓ_р, принимается по [1, при л. 4, табл.2];

R_и, R_ск - расчетное сопротивление древесины (сосны, ели), принимается по [1, табл. 3 п. 2. а];

Прогиб балки не должен превышает предельной величины, установленной [1, табл.16].

Задача 4. Проверить прочность и прогибы балки прогона цельного прямоугольного сечения. Исходные данные: q^н = 10Кн/м; h = 225мм; b = 150мм; а=1000мм; ℓ =4000мм; материал - сосна; сорт древесины 2; условия эксплуатации А1. Рис 4.

Решение. Предварительно находятся величины:

М_пр = q/2(ℓ²/4-а²) = 10/2(4²-1²) = 15кНм;

М_оп = q а²/2 = 10•1²/2 = 5кНм;

Q_пр = qℓ/2= 10•4/2 = 20кН;

Q_оп = qа= 10•1 = 10кН;

Внимание! Здесь приведены формулы определения внутренних усилий на опоре и в пролете: М_пр; М_оп; Q_пр; Q_оп только для расчетной схемы, представленной на рис.4. Для расчетных схем рис.5, 6, 7 и 8.необходимо предварительно построить эпюры М и Q, определить их наибольшие значения.

W_{нт =} bh²/6 = 15•22.5²/6 = 1265,625 см² (ослаблений нет);

S₌ bh²/8 =15•22,5²/8 = 949,22 см²;

J ₌ bh³/12 =15•22,5³/12 = 14238,281 см².

R_и = 14 МПа; R_ск =1,6 МПа.

Проверка прочности:

Ϭ ═ М/W_нт =15•10³/1265,625 = 11,85 МПа < R_и = 14 МПа;

τ ═ QS/Jb =20•10•949,22 /14238,281•15 = 0,89 МПа < R_ск = 1,6 МПа.

Прочность обеспечена.

Полный прогиб

f_о= qа(ℓ³ – 6а²ℓ-3а³)/24ЕJγ_f = 10•1•10 (4³- 6•1²•4 - 3•1³)/24•10⁵•14238,28•1,2 = 0,902 см;

где

Е = 10⁴МПа = 10⁵кгс/см² [1,п. 3.5. – модуль упругости древесины вдоль волокон].

γ_f=1,2 – усредненный коэффициент перехода к расчетам по 2-му предельному состоянию.

f_пр = qℓ²(5/8ℓ² -3а³)/48ЕJγ_f = 10•4² •10⁵(5/8 •4² - 3•1³)/48•10⁵•14238,28•1,2

=1,366 см;

Проверка прогибов: f/ℓ = 1,366/400 = 1/293 < [1/200]

Прогиб балки не превышает предельного [1, табл.16].

Задача 5. Из условия прочности подобрать размеры попе­речного сечения балки. Исходные данные: q^н = 13 кН/м; а=1100мм; ℓ =4500мм; материал - ясень; сорт древесины 2; условия эксплуатации В1. Рис 4.

Сечения принимать согласно сортаменту пиломатериалов.

Решение. Предварительно находятся величины:

М_пр = q/2(ℓ²/4-а²) = 13/2(4,5²-1,1²) = 25,04 кНм;

М_оп = q а²/2 = 13•1,1²/2 = 7,865 кНм;

Q_пр = qℓ/2= 13•4,5/2 = кН;

Q_оп = qа= 13•1,1 =14,3кН;

Находится требуемый момент сопротивления:

W_тр ═ М/ R_и т_в = 25,04•10⁴/13•1,3•10 = 1481,66 см^3;

где R_и = 13 МПа [1, табл. 3 п. 1. а];

т_п = 1,3 для ясеня [1, табл. 4 п. 6].

Задаемся шириной сечения b = 15 см. Тогда требуемая высота сечения

h_тр = √ 6W/ b = √ 6•1481,66/15 = 24,34 см ≈ 25 см.

Принимаем сечение = 15 х 25 см (см. табл.3 приложения 1).

Момент сопротивления принятого сечения

W = bh²/6 = 15•25²/6 = 1562,5 см³.

Проверка прочности:

Ϭ ═ М/W=25,04•10³/1562,5 = 16,03 МПа < R_ит_п = 13•1,3 = 16,9 МПа;

τ ═ QS/Jb = 1,5Q/bh (для прямоугольного сечения),

где Q - максимальная поперечная сила,

τ = 1.5•29,25•10/15•25 = 1,17 МПа < R_скт_п = 1,6•1,3 = 2,56 МПа;

где R_ск= 1,6 МПа [1, табл. 3 п. 5. а];

т_п = 1,3 для ясеня [1, табл. 4 п. 6].

Прочность обеспечена.

Приложение 1

Сортамент пиломатериалов (ГОСТ 8486 - 86*Е) табл. 3

Толщина, мм	Ширина, мм
16	75	100	125	150	-	-	-	-	-
19	75	100	125	150	175	-	-	-	-
22	75	100	125	150	175	200	225	-	-
25	75	100	125	150	175	200	225	250	275
32	75	100	125	150	17.5	.200	225	250	275
40	75	100	125	150	175	200	225	250	275
44	75	100	125	150	175	200	225	250	275
50	75	100	125	150	175	200	225	250	275
60	75	100	125	150	175	200	225	250	275
75	75	100	125	150	175	200	225	250	275
100	-	100	125	150	175	200	225	250	275
125	-	-	125	150	175	200	225	250	-
150	-	-	-	150	175	200	225	250	-
175	-	-	-	-	175	200	225	250	-
200	-	-	-	-	-	200	225	250	-
250	-	-	-	-	-	-	-	250	-

Приложение 2

Формулы для определения максимальных прогибов:

f= Nℓ³/3ЕJ – консольная балка

f= qℓ⁴/8ЕJ - консольная балка

f= Рℓ³/48ЕJ –балка на двух опорах

f= 5qℓ⁴/384ЕJ - балка на двух опорах

Приложение 3

Рис. 4 Рис. 5

Рис. 6 Рис. 7

Рис. 8

Приложение 4.

Выдержки из СНиП П-25-80 «Деревянные конструкции» [1]