4.3 Приклади розв'язання задач

Приклад 4.1. На межу поділу повітря і діелектрика падає з повітря перпендикулярно поверхні розділу пласка поперечна хвиля. На площині поділу напруженість електричного поля падаючої хвилі

, мкВ/м,

а напруженість відбитої хвилі

, мкВ/м.

Знайти напруженість електричного поля на межі розподілу в обох середовищах.

Через те що поперечна хвиля падає перпендикулярно поверхні поділу, на межі будуть відсутні нормальні складові електромагнітного поля. Запишемо напруженість відбитої хвилі у вигляді . Тоді сумарне поле Гранична умова на поверхні поділу двох діелектриків (4.7) дає відповідь

E_2n = E_1n = 0. 

Приклад 4.2. На межі поділу двох діелектриків з відносними діелектричними проникностями ₁ = 10,54, ₂ = 4,5 вектор електричного поля стоячої хвилі орієнтований під кутом 47 до поверхні поділу і на поверхні поділу в діелектрику 1 його амплітуда дорівнює 13 мкВ/м. Знайти амплітуду напруженості електричного поля в діелектрику 2.

Позначимо E₁ = 13 мкВ/м,  = 47/180 рад. Тоді E_1t = E₁cos, E_1n = E₁sin. З (4.7) знаходимо E_2t = E_1t, а з (4.9)  E_2n = (₁/₂)E_1n. Амплітуда напруженості електричного поля в діелектрику 2 дорівнює . Числові результати такі: E_1t = E_2t = 8,87 мкВ/м, E_1n = 9,51 мкВ/м, E_2n = 22,27 мкВ/м, E₂ = 23,97 мкВ/м. 

Приклад 4.3. На межу поділу діелектрика й ідеального провідника падає під кутом 43 до поверхні пласка паралельно поляризована поперечна хвиля (рис. 5.1) з

Рисунок 4.3  Векторні діаграми до прикладу 4.3

амплітудою вектора електричного поля 14 мкВ/м. Знайти значення амплітуд тангенціальної і нормальної складової результуючого електричного поля на поверхні поділу.

 На рис. 4.3 показаний кут 43 між вектором Пойнтинга та межею поділу. Вектор електричного поля падаючої хвилі і вектор Пойнтинга, як видно з рис. 5.1 для паралельно поляризованої хвилі, взаємоперпендикулярні. Тому кут нахилу вектора електричного поля до площини поділу складає 180  43  90 = 47. Розкладемо вектор падаючої хвилі на нормальну і тангенційну складові. Щоб результуюча тангенціальна складова за (4.11) дорівнювала нулю, необхідно, щоб тангенціальна складова відбитої хвилі була спрямована в протилежний напрямок. При цьому однакові нормальні складові падаючої і відбитої хвилі спрямовані в одному напрямку. Далі усе очевидно:

Відповідь: E_1t = 0, E_1n = 20,48 мкВ/м. 

Приклад 4.4. Вважаючи стінки П-хвилеводу ідеально провідними, записати граничні умови на межах поділу області  для складових електромагнітного поля: H_z, H_x, E_y, наданих у прямокутній системі координат за рис. 4.4 (x, y  поперечні координати, z  поздовжня вісь).

 Почнемо зі складової E_y. Вона паралельна до стінок b, t і перпендикулярна до стінок a, c. Тому

Зазначимо, що перші три рівняння належать до граничних умов на поверхні ідеального провідника, з них перші два відповідають (4.11), а третє  (4.13). Четверте рівняння належить до граничних умов на межі поділу двох діелектриків.

Компонента H_x паралельна до стінок a,c і перпендикулярна до стінок b, t . Тому на a,c збуджуватимуться струми, а на b, t значення H_x буде нульовим.

Рисунок 4.4  Розміри П-хвилеводу

З урахуванням (4.12), (4.14) отримуємо систему рівнянь, де для наочності введено індекси "a", "c" , які показують стінку, а індекс "z" вказує на напрямок поздовжнього струму; останнє рівняння відповідає (4.8)  умові для нормальних складових на поверхні поділу двох діелектриків:

.

Поздовжня складова H_z на всіх межах поділу буде тангенційною і буде джерелом поперечних струмів на стінках, а на межі з областю  дорівнюватиме поздовжній складовій в цій області. З урахуванням (4.14), (4.10)

В цих записах індекси "x", "y" указують на напрямок струму  поперечний. 

Приклад 4.5. На пласку мідну поверхню перпендикулярно падає з повітря пласка поперечна хвиля з амплітудою електричного поля 377 мВ/м. Знайти на частоті 7,5 ГГц значення амплітуди тангенціальної складової електричного поля на межі поділу.

 Це завдання на використання граничних умов Щукіна-Ритова-Леонтовича на поверхні реального провідника (4.15). Спочатку знайдемо характеристичний опір. З табл. 3.2 провідність міді ₂ = 5,8110⁷ См/м.

Для провідника (див. табл. 3.1)

Тепер знайдемо тангенціальну складову магнітного поля. У падаючої хвилі амплітуда H₀ = E₀ / 120 = 1 мА/м. Хвиля падає перпендикулярно межі поділу, тому

H_{t пад} = H₀ = 1 мА/м. Тангенціальна складова електричного поля E_1t  0 (див. приклад 4.3 і рис. 4.3). З рис. 4.5 H_t1 = 2H_{t пад} = 2 мА/м. Тоді рівняння (4.15) дає E_t1 = 31,932 = 63,85 мкВ/м.

Рисунок 4.5  Орієнтація векторів Принципово, що значення E_t1 мале

і в нашому випадку E₀/E_t1  5900. 