19. Скалярное произведение векторов. 1. Скалярное произведение векторов

В векторной алгебре рассматриваются два вида произведения двух векторов: скалярное или векторное. Результатом скалярного умножения двух векторов является число (скаляр); результатом векторного умножения двух векторов является вектор.

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла φ между векторами (рис.4.1).

Замечание 1. Скалярное умножение нельзя распространить на случай трех векторов-сомножителей, так как результатом его будет уже вектор, а не число.

φ

0

Рис. 4.1. К понятию скалярного произведения

Для обозначения скалярного произведения вектора на вектор упот-ребляется одна из записей : .

Согласно определению имеем

(1)

Заметив, что согласно рис. 3.1

,

равенство (1) можно записать в виде

или

.

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно длине од-ного вектора, умноженной на проекцию второго на направление первого.

Итак, в результате скалярного произведения получается число (скаляр), а не новый вектор .

Замечание 2. Действия, обратное скалярному умножению, т.е. деле-ние вектора на вектор, невозможно и приводит к неопределенности такого действия.

1.1 Основные свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение равно нулю в том и только в том случае, ес-ли векторы перпендикулярны (или хотя бы один из них равен нулю), т.е. условие ортогональности двух векторов , что равносильно .

2. - скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля .

3. Скалярное произведение коммутативно, т.е. не зависит от порядка сомножителей (переместительное свойство) : .

4. Скалярный (числовой) множитель можно выносить за знак скаляр-ного произведения (сочетательное свойство относительно скаляра) :

или .

5. Распределительное свойство, т.е. для трех векторов имеет место ра-венство : . Это означает, что при скалярном умножении суммы векторов на вектор можно «раскрыть» скобки. На основании изложенных свойств скалярное произведение ортов :

Свойства 3,4,5 позволяют применять к скалярным произведениям те же пре-образования, какие выполняются в обычной алгебре над произведениями многочленов.

Пример 1. Векторы и образуют угол , причем ; . Вычислить .

Решение.

.