- •Вопросы к коллоквиуму №1 по линейной алгебре
- •6. Элементарные преобразования матриц.
- •7. Обратная матрица.
- •12.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Геометрическая
- •13.Решение систем линейных уравнений матричным методом.
- •15.Свойства решений однородной системы линейных уравнений.
- •17. Системы координат на плоскости.
- •2. Линейные операции над векторами.
- •2.1. Сложение векторов.
- •2.2. Вычитание векторов.
- •2.3. Умножение вектора на число (скаляр).
- •19. Скалярное произведение векторов. 1. Скалярное произведение векторов
- •1.1 Основные свойства скалярного произведения
- •1.2 Скалярное произведение в координатной форме
- •1.3 Приложение скалярного произведения к геометрии и механике
- •1. Угол между двумя векторами.
- •2. Направление вектора.
- •20. Векторное произведение векторов. 2. Векторное произведение двух векторов
- •2.1 Основные свойства.
- •2.2 Векторное произведение в координатной форме.
- •2.3 Приложения векторного произведения.
- •21. Смешанное произведение векторов. 3. Смешанное произведение
- •3.1 Смешанное произведение в координатной форме
- •22. Линейные операции над векторами. 1. Линейные действия над векторами в координатной системе.
- •2. Выражение вектора через координаты его начала и конца.
- •3. Расстояние между двумя точками .
- •4. Деление отрезка в данном отношении
- •23. Линейная зависимость и независимость векторов. 3. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •24. Критерии линейной зависимости векторов. 4. Критерии линейной зависимости векторов.
- •25. Векторное линейное пространство. 1. Векторное линейное пространство.
- •27. Ориентация пространства.
- •5.2. Условие коллинеарности двух векторов.
- •30.Линейные операторы. I. Линейные отображения
- •2. Понятие линейного оператора
- •3. Матрица линейного оператора
- •4. Действия с линейными операторами
- •31.Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
Вопросы к коллоквиуму №1 по линейной алгебре
1. Определители . Определителем 2-го порядка называется число и обоз-начается символом
(5)
где вертикальные черточки – знак определителя.
Числа называются элементами определителя.
Элементы образуют главную диагональ определителя, а - побочную. Кроме того, в определителе различают
два столбца и две строки – ряды.
Таким образом, определитель 2-го порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях.
Определителем 3-го порядка называется число, и обозначается символом
Значение определителя вычисляется по формуле:
(8)
Для запоминания формулы (8) удобно пользоваться правилом треуголь-ников (правило Саррюса): первые три слагаемых представляют собой произ-ведение элементов, стоящих на главной диагонали и вершинах двух треуго-льников, у которых одна из сторон параллельна главной диагонали, а осталь-ные три слагаемых, взятые с обратным знаком, вычисляются аналогично, только за основу берётся побочная диагональ.
Правило треугольников символически иллюстрируется следующей схе-мой (рис. 3.1) :
2. Свойства определителей. Свойство 1. Значение определителя не меняется, если у него заменить все его строки соответствующими столбцами и обратно:
.
Свойство 2. Если поменять местами два столбца (строки), то определи-тель изменит знак:
.
Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю :
Свойство 4. Общий множитель элементов строки (столбца) можно вы-носить за знак определителя :
.
Свойство 5. Определитель, у которого элементы двух столбцов (строк) пропорциональны, равен нулю.
3. Методы вычисления определителей п-го порядка Кроме определителей 2-го и 3-го порядка рассматриваются также опре-делители более высоких порядков. Например, определитель 4-го порядка имеет вид
и, вообще, определитель n –го порядка
Определитель любого порядка есть число, получаемое с помощью свойств 8 и 6.
4. Матрицы. Виды матриц. В общем случае матрицей называется прямоугольная таблица, состав-ленная из чисел или каких-либо других объектов. В дальнейшем будем рассматривать матрицы, составленные из вещественных чисел.
Матрицы обозначают одной буквой, например,
где круглые скобки, или двойные черточки – знак матрицы,
а числа а11 , а12 ,… - элементы матрицы.
Каждая матрица имеет определенные размеры (m×n) , т.е. количество строк m и количество столбцов n .
В общем, матрица имеет вид
, т.е. номер строки i меняется от 1 до m , номер столбца j – от 1 до n .
5. Действия над матрицами. 1. Сложение матриц. Заметим, что складывать можно только матрицы одинаковых размеров.
Определение 3. Суммой двух матриц и называется матрица элементы которой определяются равенством .
Обозначается : С=А+В .
Пример 1. .
Сложение матриц подчиняется переместительному закону, т.е. А+В=В+А, и сочетательному закону, т.е. (А+В)+С=А+(В+С).
2. Умножение матриц на число.
Определение 4. Произведением матрицы А на число λ называется ма-трица
Матрица записывается как -А и называется матрицей, противоположной матрице А.
3. Умножение матриц. Отметим, что перемножать можно только соответственные матрицы .
Определение 5. Произведением имеющей m строк и k столбцов, на матрицу , имеющей k строк и n столбцов, называется матрица , имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент Cij равен сумме произведений элементов i – той строки матрицы А и j -го столбца матрицы В, т.е.
.
Обозначается .
Пример 2.
Можно показать, что умножение матриц подчиняется сочетательному зако-ну и распределительному закону но не подчиняется переместительному закону, т.е. АВ ≠ ВА.
Замечание. Единичная матрица Е перестановочна с любой матрицей А того же порядка, что и матрица Е, т.е. АЕ = ЕА = А, т.е. только в этом случае умножение матриц подчиняется пере-местительному закону.
Убедимся в этом на примере матриц второго порядка