12.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Геометрическая

иллюстрация решения.

13.Решение систем линейных уравнений матричным методом.

Пусть требуется решить систему n линейных алгебраических уравне-ний (СЛАУ) с n неизвестными

(11)

Обозначим через А матрицу системы (1), через В и Х – матрицы-столбцы

Тогда на основании правила умножения матриц заменим систему урав-нений (11) матричным уравнением с неизвестной матрицей Х

А Х = В (12)

Предположим, что матрица А имеет обратную матрицу А^-1 . Умножим равенство (12) на А^-1 слева , получим А^-1 А Х = А^-1 В .

Так как А^-1А = Е , а Е Х = Х , то имеем

Х = А^-1 В (13)

Выражение (13) называется матричной записью решения системы линей-ных уравнений.

Замечание. Решение системы линейных уравнений в матричной форме возможно только в том случае, когда определитель мат-рицы А отличен от нуля, т.е. матрица А невырожденная и имеет обратную.

Пример 1. Решить систему уравнений

.

Решение. 1) Составим матрицы А,В,Х

.

2) Вычислим определитель матрицы А

, следовательно матрица А имеет обратную.

3) Найдем обратную матрицу А^-1 согласно алгоритму

.

4) По формуле (13) находим матрицу Х = А^-1 В

.

Откуда х = -1 , у = 1 , z = 0 .

14.Однородная система линейных уравнений. В общем случае однородная система линейных уравнений имеет вид

(22)

Однородная система всегда совместна .

Это следует из теоремы Кронекера-Капелли, а также очевидно, что , является решением системы.

Это решение называется нулевым или тривиальным .

Для однородной системы важно установить, имеет ли она ненулевое ре-шение. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 2. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных: r(A)< n .

Следствие 1. Если в однородной системе число неизвестных n больше числа уравнений m , то система, помимо нулевого реше-ния, обладает ещё и ненулевым.

Следствие 2. Для того чтобы однородная система n линейных уравне-ний с n неизвестными обладала и ненулевыми решениями

необходимо и достаточно, чтобы равнялся нулю определитель системы.

Пример 2. Решить систему

(23)

А. Исследование системы

Решение. 1. Найдем r(A)

1) А=

I II III [х(-3)] (-6 -3 -15 9 ) [+] [+] [ ∑ ] [ ∑ ]

2) Сложим 3-ю и 4-ю строки и эту сумму вычтем из 2-ой строки, умножен-ной на 3 (или сложим со 2-ой, умноженной на -3), получим

, т.е. r(A)< 4 .

Отсюда r(A)= 3 , так как минор 3-го порядка

, т.е. r(A)= 3< n = 4 .

Следовательно, система имеет и ненулевые решения .

Замечание. Исходная система (23) эквивалентна системе (24) , которая составлена на основании выбранного минора. Конечно, можно было взять и другой минор матрицы А , если бы проделать другие преобразования над ней при определе-нии ранга.

(А в данном случае можно исключить из системы (23) вто-рое уравнение и решить систему (24)).

В. Решение системы.

2. Решим систему

(24)

Пусть х₄ = t , где t - параметр, принимающий произвольное числовое значение . Решим полученную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными, например , по формулам Крамера.

Следовательно,

Путем подстановки этого решения во все четыре уравнения системы (23) лег-ко убедиться, что система решена правильно.