4. Действия с линейными операторами

Обозначим через L множество всех линейных операторов, действую-щих в линейном пространстве R . В этом множестве введем действия (опе-рации) сложения линейных операторов, умножения линейного оператора на действительное число и произведение линейных операторов.

1. Суммой двух линейных операторов называется оператор , определяемый формулой .

При этом матрица «суммарного» оператора равна сумме матриц сла-гаемых операторов, т.е. А + В .

2. Произведение линейного оператора на действительное число λ называется оператор , действующий согласно формуле , а матрица такого оператора есть произведение мат-рицы А на число λ .

3. Произведением линейных операторов и есть результат после-довательного выполнения операторов и и обозначают (оператор, действующий первым, пишется в произведении справа). Матрица произве-дения операторов представляет собой произведение соответствующих матриц ВА.

Произведение линейных операторов так же , как и произведение их матриц зависит от порядка сомножителей, т.е. .

Операторы и считаются равными, если для любого вектора его образы при действии этих операторов равны, т.е. если . Равные линейные операторы в одном и том же базисе имеют одинаковые матрицы.

Введем также понятие обратного оператора и его матрицы. Пусть в

пространстве R действует линейный оператор , заданный в некотором базисе матрицей А . Положим, что эта матрица квадратная и не особенная (невырожденная), т.е. имеет обратную матрицу .

Пусть оператор каждому вектору составляет некоторый век-тор , т.е. . Соответствующее линейное преобразование пред-ставим в матричной форме .

Умножая слева последнее равенство на матрицу , получим

Если обратной матрице сопоставить оператор , то его приме-нение: позволяет выразить координаты вектора через коорди-наты .

Такое преобразование также является линейным и называется обрат-ным оператором, т.е. оператором, обратным к оператору . Вполне очеви-дно, что операторы и взаимно обратны один к другому. При этом для произведения операторов и обратным является оператор .

31.Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.