15

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЛЬВІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ІНСТИТУТ НОВІТНІХ ТЕХНОЛОГІЙ ТА УПРАВЛІННЯ ІМ. В. ЧОРНОВОЛА

Логічні основи

цифрової схемотехніки

Методичні вказівки

до практичних занять № 2 з дисципліни

“Комп’ютерна схемотехніка ”

Затверджено

на засіданні кафедри КСМ

Протокол № 1 від 29.08. 2008 р.

ЛЬВІВ 2008

Арифметико-логічні основи цифрової схемотехніки. Методичні вказів­ки до практичних занять № 2 з дисципліни "Комп’ютерна схемотехніка”.

Упорядники: Сергій Сергійович Івчук, ст. Викладач каф. Ксм Логічні основи комп’ютерної схемотехніки

1. Теоретичні основи алгебри логіки

Можливість опису цифрових схем за допомогою є зручною за двох при­чин. Перша – за допомогою формул зручно перевіряти роботу схеми. Друга – формування умов роботи довільної цифрової схеми у вигляді формул алгебри логіки не тільки спрощує процес розробки цифрових схем, так і в багатьох ви­падках автоматизованого створення даних схем.

В даний час основна задача алгебри логіки – аналіз, синтез та структур­не моделювання довільних дискретних систем. Апарат булевої алгебри поши­рюється на об’єкти різноманітної природи інваріантне до їх природи, тільки б вони характеризувалися двома значеннями або двома станами: контакт увімк­не­ний або вимкнений. В нашому випадку наявність високого або низького рівня напруги, виконання або невиконання деякої умовної роботи та ін.

Основне поняття алгебри логіки – висловлювання. Висловлювання – де­яке твердження, про яке можемо говорити, що воно істинне (позначимо симво­лом 1), або воно фальшиве (позначимо символом 0). Позначивши, власне вис­ловлювання символом х можемо застосувати визначення булевої змінної.

Логічна (булева) змінна – така величина х, яка може приймати тільки два значення: х = {0, 1}.

Висловлювання абсолютно істинне, якщо відповідна їй логічна змінна приймає значення 1 при довільних умовах.

Висловлювання абсолютно фальшиве, якщо відповідна їй логічна змінна приймає значення 0 при довільних умовах.

За допомогою логічних зв'язок НЕ, АБО, І, ЯКЩО…ТО… формують складні висловлювання, які називають логічними (булевими) функціями. Звід­ки, логічна функція – функція f(x₁, x₂, …, x_n), яка приймає значення, рівне нулю або рівне 1 на наборі логічних змінних x₁, x₂, …, x_n.

Операція – чітко визначена дія над одним або декількома операндами, яка створює новий об’єкт (результат).

Основними булевими операціями є заперечення (операція НЕ, інверсія), диз’юнкція (операція АБО, логічне додавання, об’єднання) та кон’юнкція (опе­рація І, логічне множення).

Заперечення – це одномісна булева операція f = (читається «не х»), результатом якої є значення, протилежне значенню операнди.

Диз’юнкція – це булева операція f = х₁  х₂ (читається «х₁ або х₂»), ре­зультатом якої є значення 0 тоді і тільки тоді, коли обидва операнди мають зна­чення 0.

Кон’юнкція – це булева операція f = х₁  х₂ (читається «х₁ і х₂»), резуль­татом якої є значення одиниці тоді і тільки тоді, коли значення кожного опе­ран­ди рівне 1. В даній булевій операції допускається і наступні записи «х₁  х₂» або «х₁  х₂».

Операції заперечення, диз’юнкції та кон’юнкції зручно подавати табли­цею істинності табл.1, 2.

Таблиця 1 Таблиця 2

х	f =		х1	х2	f = х1  х	f = х1  х2
0	1		0	0	0	0
1	0		0	1	1	0
			1	0	1	0
			1	1	1	1

З табл. 3 видно, що елементарні функції заперечення, кон’юнкції, диз’ю­нкції, Шиффера, Пірса, імплікації та інші знаходяться в певному зв’язку один з другим.

Використовуючи положення алгебри логіки, не складно переко­натися в справедливості наступних аксіом. Нехай х – довільна логічна змінна. Тоді:

• х = , що означає можливість виключення з логічного виразу всіх чле­нів, які мають подвійне заперечення, замінивши їх вихідною величиною;

• х + х = х; х  х = х – правила таких перетворень, дозволяють скоро­ти­ти довжину логічних виразів;

х + 0 = х;	х  0 = 0;	х  = 0;
х + 1 = 1;	х  1 = 1;	х  = 1.

Логічні функції від двох змінних подано в табл. 3.

Таблиця 3.

х1 0011 х2 0101		Вираз	Назва операції
f0	0000	f0 = 0	Константа 0
f1	0001	f1 = х1х2 f1 = х1  х2	Кон’юнкція
f2	0010	f2 = f2 =	Заборона по х2
f3	0011	f3 = х1 f3 =  х1х2 = х1	Повторення х1
f4	0100	f4 = f4 =	Заборона по х1
f5	0101	f5 = х2 f5 =  х1х2 = х2	Повторення х2
f6	0110	f6 = х1х2	Сума за модулем 2
f7	0111	f7 = х1 х2	Диз’юнкція
f8	1000	f8 = х1 х2 (функція Пірса)	Заперечення диз’юнкції
f9	1001	f9 = х1 х2 (рівнозначність)	Еквівалентність
f10	1010	f10 = f10 =	Заперечення х2
f11	1011	f11 = х1  х2	Імплікація від х2 до х1
f12	1100	f12 = f10 =	Заперечення х1
f13	1101	f13 = х1  х2	Імплікація від х1 до х2
f14	1110	f14 = х1  х2 (функція Шеффера)	Заперечення кон’юнкції
f15	1110	f15 = 1	Константа 0

Диз’юнкція та кон’юнкція володіють властивостями, аналогічними вла­стивостям звичайних арифметичних операцій додавання та множення:

1. властивість асоціативності (сполучний закон):

х₁  (х₂  х₃) = (х₁  х₂)  х₃; х₁  (х₂  х₃) = (х₁  х₂)  х₃;

2. властивість комутативності (переміщувальний закон):

х₁  х₂ = х₂  х₁; х₁  х₂ = х₂  х₁;

1. властивість дистрибутивності (розподільчий закон):

• для кон’юнкції відносно диз’юнкції

х₁  (х₂  х₃) = (х₁  х₂)  (х₁  х₃);

• для диз’юнкції відносно кон’юнкції

х₁  х₂  х₃ = (х₁  х₂)  (х₁  х₃).

Згідно табл. 3, визначено ще перелік нових функцій (операцій):

Виключення (заборона) – двомісна булева операція, результатом якої є значення одиниці тоді і тільки тоді, коли значення одного опе6ранда рівне оди­ниці, а іншого – нулю. Записується у вигляді:

або .

Сума за модулем два (виключне або, заперечення еквівалентності) – дво­місна булева операція, результатом якої є значення одиниці тоді і тільки тоді, коли операнди мають різні значення. Записується у вигляді:

.

Заперечення диз’юнкції (операція НЕ-АБО, інакше стрілка Пірса) – бу­лева операція, результатом якої є значення одиниці тоді і тільки тоді, коли оби­два операнди рівні нулю. Позначається наступним чином:

.

Узагальнюючи для n змінних, отримаємо:

.

Еквівалентність (рівнозначність) – двомісна булева операція, резуль­татом якої є значення одиниці тоді і тільки тоді, коли операнди набувають од­на­кових значень. Записується у вигляді:

.

Імплікація (включення) – двомісна булева операція, резуль­татом якої є значення нуль тоді і тільки тоді, коли значення одного з операндів дорівнює ну­лю, а іншого одиниця. Позначаємо наступним чином:

.

Заперечення кон’юнкції (операція НЕ-І, інакше штрих Шефера, інакше заперечення перетину) – булева операція, резуль­татом якої є значення нуль тоді і тільки тоді, коли обидва операнди дорівнюють одиниці. Позначаємо у вигляді:

Узагальнюючи для n змінних, отримаємо:

.

Приклад: проведемо доведення виразу х₁  х₂  х₃ = (х₁  х₂)  (х₁  х₃):

1. за допомогою вище викладених аксіом

(х₁ + х₂) (х₁ + х₃) = х₁ х₁ + х₁ х₃ + х₂ х₁ + х₂ х₃ = х₁ + х₁ х₃ + х₂ х₁ + х₂ х₃ =

х₁(1 + х₃ + х₂) + х₂ х₃ = х₁  1+ х₂ х₃ = х₁ + х₂ х₃.

2. за допомогою таблиці істинності

х1	х2	х3	х2 х3	х1 + х2 х3	х1 + х2	х1 + х3	(х1 + х2) (х1 + х3)
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Порівнюючи стовпці правої та лівої частини бачимо, що вони ідентич­ні, тобто права частина, тотожна лівій частині виразу який аналізуємо.

Аналогічно можемо довести інші закони.

Нескладно визначити правильність співвідношень, відомих як закони де Моргана:

=

=

Із законів де Моргана можемо отримати вирази алгебри логіки за допо­могою яких можливо подавати кон’юнкцію через диз’юнкцію та заперечення, або диз’юнкцію через кон’юнкцію на заперечення

х₁х₂ =

х₁ + х₂ =

Для логічних функцій встановлюються співвідношення, відомі як зако­ни поглинання:

х₁ + х₁х₂ = х₁,

х₁(х₁ + х₁) = х₁.

Областю визначення булевої функції f(x₁, x₂, …, x_n) є скінчена множина різних двійкових наборів довжиною n, на кожному з яких вказується значення функції 0 або 1. Кількість двійкових наборів дорівнює множині n-розрядних двійкових чисел m = 2ⁿ.

Довільну булеву функцію можемо задавати різними способами: за допо­могою логічних виразів та таблиці істинності, як подано вище, словесним опи­сом, геометричними фігурами та графами.

Н априклад функцію f(x₁, x₂) можемо подати як f = 1 при x₁ x₂ = 1 та f = 0, якщо x₁ x₂ = 0. Дану функцію можемо зобразити діаграмою (рис.1, а) або геоме­трично за допомогою двовимірного куба (рис.1, б), а також графом де вершини відображають значення 0 та 1, а на орієнтованих дугах змінні вказують на умо­ви переходів.

Булеві функції одного або двох аргументів називають елементарними. Схема, яка здійснює елементарну логічну операцію, називають логічним еле­ментом (вентилем). Сукупність взаємозалежних логічних елементів з форма­лізо­ваними методами опису називається логічною схемою.

Назви та умовні графічні позначення основних елементів, які застосо­ву­ються в комп’ютерній схемотехніці подано на рис. 2. Значення змінних (опера­н­дів) відображаються електричними сигналами (напругою) з двома чітко вира­женими рівнями значень.