Контрольные вопросы и устные упражнения
1. Понятие равносильных формул. Основные равносильности. Равносильны ли: 1). А и А; 2). А В и В А;
3). А В и (А В) (А С)?
2. Законы логики. Докажите законы дистрибутивности, де Моргана, идемпотентности, контрапозиции.
3. Принцип двойственности в алгебре логики.
4. Какая связь между алгеброй логики и алгеброй множеств?
Упражнения
4.1. Являются ли законами логики следующие формулы:
1. х х у; 2. х у х у;
3. х ( х у ); 4. х у х у?
4.2. Равносильны ли формулы:
1. х у и х у 2. х у и х у
3. х ( х у) и х у 4. х у и у х
5. (х у) ( х у) и (у х) ( х у)
4.3. Упростите, используя равносильные формулы:
1. х (х у); 2. у (х у); 3. х (х у);
4. (х у) х; 5. х х ; 6. х (х у);
7. х (х х); 8. х х у;
9. х у х у; 10. (х у) (х у);
11. ( х у) (( х у) х ;
12. ( х у) ((х у) х);
13. (х у) (у х) (х у);
14. (у х) у х) (z х);
15. (х z) (х z) (у z) ( х у z);
16. (( х у) у х));
17. ( х ( у (z х у z))).
4.4. Проверить равносильность формул:
1. х ( х у) и х у; 2. х у и у x;
3. (х ® у) Ù (Ø х ® Ø у) и (у ® Ø х) ®(Ø х Ù Øу);
4. х ® (у Ú (z ® Ø х)) и х Ù z ® у.
4.5. Докажите следующие теоремы:
1. если А, то А Ú В; 2. если А Ù В, то В;
3. если (ØА Ú В) Ù (С ® Ø В), то (А ® Ø С).
4.6. Равносильным образом следующие формулы преобразуйте так, чтобы они содержали только операции Ø и Ù.
1. (х È у) ® (Ø х ® z); 2. (Ø х ® у) Ú Ø (х ® у);
3. ((х Ú у Ú z ) Ú х) Ú z; 4. ((х ® у) ® z) ® Ø х.
4.7. Равносильным образом следующие формулы преобразуйте так, чтобы они содержали только операции Ø и Ú.
1. (х ® у) ®(у Ù z); 2.(Ø х Ù у) ® (х Ù у);
3. ((Ø х Ù Ø у) Ú z ) Ùz Ù Ø у);
4. ((х®(у Ù z) ®(Øу ® Ø х)) ® Øу.
4.8. Равносильными преобразованиями формул освободитесь от знаков “®“ и “«“, отрицание отнести к переменным:
1. Ø х ® Ø у; 2. х « х Ú у;
3. х ® у Ú Ø х; 4. х ® х « Ø у;
5. ((х ® у) Ù (у ® х)) ® (х Ú у);
6. ((х ® у) Ù (у ® Ø х)) ®(z ® х);
7. Ø ( х ® у) ; 8. Ø ( х ® (у ® х));
9. Ø (Ø(х Ú у) ®(z ® х));
10. Ø((х Ù (у Ú Ø z)) Ú (Ø х Ù у)).
4.9. Двумя способами докажите тождественную ложность формул.
1. Ø (х ® х Ú у); 2. Ø (х Ú у ® х Ú у);
3. х Ú у « х Ù Ø у; 4. ®(х ®у));
5. ((х ®у) Ù (у ®z)) Ù Ø (х®z);
6. (х ®у) Ù (х® Ø у) Ù х.
З А Н Я Т И Е № 5.
Предикаты и операции над ними.
Предложения: А(х) = ”число х - двузначное; В(х) = ”x > 10”;
С(х) = “(х - 5)2 < 10”, - высказываниями не являются.
Действительно, об истинности, например, В(х) мы ничего не можем сказать. Но если будем подставлять вместо х различные натуральные числа, мы будем получать высказывания о натуральных числах - иногда истинные, иногда ложные.
В( 5 ) = “ 5 > 10” - ложное высказывание.
В( 11 ) = “ 11 > 10” - истинное высказывание.
Предложения, зависящие от переменных, обозначаем
А( х ), В(х ; у) и т. д.
Определение. Предложение А( х ), зависящее от переменной х, называется одноместной высказывательной формой (предикатом) на множестве М, если оно обращается в высказывание при подстановке в него значений переменной из множества М.
Аналогично определяются высказывательные формы от двух и более переменных.
Множество М, на котором задана высказывательная форма А(х), можно разбить на два подмножества. Одно из них содержит те и только те элементы из М, для которых А(х) истинно. Это подмножество называется множеством истинности высказывательной формы А(х) и обозначается Т(А) ( или DA).
Т(А) = {xo M | A(xo) - истинно }.
Другое подмножество содержит те и только те элементы М, для которых А(х) ложно. Его можно обозначить через Т(А), так как оно является дополнением Т(А) до множества М. Например, для
А(х) =“-5х + 6 < 0, х
R” Т(А) = ( 1,2 ; +
),
Т(А) = (-
;
1,2 ].
Пусть на множестве
М заданы две высказывательные формы
А(х) и В(х). Тогда определены и высказывательные
формы
А(х),
А(х)
В(х), А(х)
В(х), смысл которых получается из
определений соответствующих операций
над высказываниями. Какова их область
истинности?
А(х)
обращается в истинное высказываете
только при тех х
М, при которых А(х) ложно, т.е. область
истинности
А(х)
является дополнением до М области
истинности А(х).
А(х) В(х) обращается в истинное высказывание при тех значениях х М, при которых обе высказывательные формы А(х) и В(х) истинны, т.е. область истинности А(х) В(х) - пересечение областей истинности А(х) и В(х) ( системы уравнений и неравенств ).
Т( А(х) В(х) ) = Т(А(х)) Т(В(х)).
А(х) В(х) обращается в истинное высказывание при тех х из М, для которых хотя бы одна из высказывательных форм А(х) или В(х) истинна, т.е.область истинности А(х)В(х) - объединение областей истинности А(х) и В(х) ( совокупности уравнений и неравенств ). Т(А(х) В(х)) = Т(А(х)) Т(В(х)).