Равносильные преобразования формул алгебры логики.

Пусть дана формула А = ┐(х v у) → х┐у. Здесь переменные принимают значения из множества {0,1}. В зависимости от значений х, у определенное значение принимает формула А.

х у х v у ┐(х v у) ┐ у х┐у ┐(х v у) → х┐у

1 1 1 0 0 0 1

1 0 1 0 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1

0 0 0 1 1 0 0

Можно сократить работу по нахождению истинного значения формулы.

Всякая формула есть функция с областью определения {0, 1} и областью значений {0,1}. Пусть х₁, х₂ , …, х_n – список переменных, если эта последовательность содержит все переменные, входящие в формулу А. Придавая значения α₁ ,α₂ , …, α_n всем переменным, а их 2ⁿ (почему?), мы вычислим соответствующие значения формулы А. Фактически формула А является суперпозицией функций v, →, ┐

У нас есть эффективный способ вычисления значения формулы в двоичном наборе – алгоритм вычисления истинности всякой формулы.

Введем понятие равносильных формул.

Определение. Даны две формулы А и В алгебры логики и х₁, х₂, …,х_n – список переменных, входящих в формулы А и В. Две формулы алгебры логики А и В называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на каждом наборе значений переменных и записываются: А ≡ В или А = В.

Пример: х → у = ┐х v у, х v ┐х ≠ (х v ┐х)у, у = (х v ┐х) у

Формулы различны, функции одинаковы.

Определение. Формула А называется тождественно истинной (тавтологией), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных.

Определение. Формула А называется тождественно ложной (противоречие), если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее переменных.

Очевидно, что отношение равносильности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Между понятиями равносильности и эквивалентности существует следующая связь: если формулы А и В равносильны, то формула А↔В– тавтология, и обратно, если формула А↔В – тавтология, то А и В равносильны.

Основные равносильности:

1. ху = ух

2. х v у = у v х

3. х(уz) = (ху)z

4. х v (у v z) = (х v у) v z

5. (х v у)z = (хz) v (уz)

6. ху v z = (xz) v (yz)

7. ┐ху = ┐х v ┐у

8. ┐(x v y) = ┐x Λ ┐y

9. х → у = ┐х v у

10. x v y = ┐х → у

11. х → у = ┐у → ┐х

12. ┐┐x = x – закон снятия двойного отрицания

13. хх = х – закон

14. х v х = х идемпотентности

15. х  0 = 0

16. х  1 = х

17. х v 1= 1

18. х v 0 = х

19. х v ┐х = 1

20.х  ┐х = 0 – закон противоречия.

Выделим ряд равносильностей, которые встречаются часто и позволяют значительно упростить формулу. Здесь символами А, В обозначаются произвольные формулы

Правила сокращения:

1. Ах v А┐х = А – склеивание

2. Ах v ┐х = А v ┐х – удаление

Ах v ┐х = А v ┐х – удаление

А┐х v х = А v х – удаление

3. А v АВ = А – поглощение

А(А v В) = A – поглощение

Данные правила предлагается доказать самостоятельно

Определение . Операция подстановки – результат замены каждого вхождения переменной х формулой С.

Тогда, если А = В, то

Упростить:

1. (┐(х v y) → x v y)y = (x v y v x v y)y = (x v y)y = xy v y =

= (x v 1)y = y

2. (x → y) → ((y → z) →(x v y → z)) = ┐(┐x v y) v (┐(┐y v z) v

v (┐(x v y) v z)) = x┐y v y┐z v ┐x┐y v z = ┐y(x v ┐x) v

v (y v z)( ┐z v z) = ┐y v y v z = 1