Высказывания и операции над ними

Определение. Предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно, называют высказыванием.

Например, следующие предложения являются высказываниями:

а) 6 кратно 3;

б) число 1 является решением уравнения х - 1 = 0;

в) 1 есть простое число;

г) 5 > 3;

д) 2^.2 = 5;

е) 5 есть чётное число;

ж) город Кызыл - столица Тувы.

Предложения а), б), г), ж) - истинные высказывания; предложения в), д), е) - ложные.

Вопросительные и восклицательные предложения высказываниями не являются. Определения высказываниями также не являются, так как представляют собой условное соглашение о введении нового термина.

Под значением высказывания будем понимать его истинностное значение (“истина” или “ложь”). Обозначаем высказывания: А, В, С и т.д., а их значения “истина” или “ложь” соответственно буквами И и Л.

В логике высказываний нас интересуют связи, которые определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными.

В предложениях:

а) “если 10 делится на 3, то 100 делится на 3”;

б) “10 делится на 3 и 100 делится на 3”;

в) “10 делится на 3 или 100 делится на 3”;

г) “неверно, что 10 делится на 3”, - можно выделить элементарные высказывания А: ”10 делится на 3” и В: “100 делится на 3”. Структура этих предложений: “если А, то В”, “А и В”, “А или В”, “неверно, что А”. Союзам “и”, “или”, “если, то”, “неверно, что” в логике высказываний соответствуют логические операции конъюнкции, дизъюнкции, импликации, отрицания.

Определение. Отрицанием высказывания А называется новое высказывание “неверно, что А” ( обозначение “А” ), которое получается из А добавлением к нему слова “неверно, что...” и которое истинно тогда и только тогда, когда А ложно.

Значение отрицания полностью определяется истинностной таблицей:

А	А
И	Л
Л	И

Чтобы построить отрицание элементарного высказывания, достаточно поставить слова “неверно, что” перед данным высказыванием, либо перед сказуемым поставить частицу “не”.

ПРИМЕРЫ.

А: “Сегодня я сдаю экзамен”.

А: “Сегодня я не сдаю экзамен”.

В: 2  Z ; B : 2 Z.

Определение. Конъюнкцией двух высказываний А и В называется новое высказывание “А и В” ( обозначение “АВ” ), которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

Определение. Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется новое высказывание “А или В”, ( обозначение “АВ”), которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний.

Определение. Импликацией двух высказываний А и В называется новое высказывание ”если А, то В” ( обозначение “АВ” ), которое ложно только в том случае, когда А истинно, а В ложно.

Определение. Эквиваленцией двух высказываний А и В называется высказывание “А тогда и только тогда, когда В” ( обозначение “АВ” ),которое истинно в том и только в том случае, когда А и В оба истинны или оба ложны.

Значения истинности результатов вышеприведённых логических операций задаются истинностной таблицей:

А	В	АВ	АВ	АВ	АВ
И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	Л	И	И	Л
Л	Л	Л	Л	И	И

С помощью логических операций над высказываниями можно строить различные сложные высказывания. При этом порядок выполнения операций указывается скобками, ((х  у) v ┐z).

Определение (формулы, индуктивное):

1. Всякая переменная: х, у, z… взятая в отдельности есть формула, символы 0, 1 – также формулы.

2. Если А, В – формулы, то следующие выражения суть формулы: (АВ), (А v В), (А→В), ┐А.

3. Никакие другие выражения, составленные из переменных и символов логических операций, не являются формулой.

Обозначаем формулы буквами А, В, С.

Пример: х, у, (х  у), ((х  у) → у) – формулы.

(х  у) → , х  у – формулами не являются.

В определении формулы четко вырисована структура: у любой формулы есть главный логический знак, тот, который фигурирует последним.

Скобки играют большую роль, но и делают записи громоздкими. Мы договоримся о сокращении числа написания скобок. Внешние скобки опустим. Договоримся о приоритете логических символов, т.е. об их силе связывания. Порядок таков: ┐, или v, →, .

И вместо ((х  у) → х) пишем ху → х

Определение (Подформулы, индуктивное):

1.Подформулой формулы пункта 1 является она сама.

2. Подформулами формулы пункта 2 являются: А, В, она сама, все подформулы формулы А и все подформулы формулы В.