1.3. Операции над множествами

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Пересечение множеств А и В обозначается так: А  В.

Определение можно записать в виде :

А  В = { x | x  A и х  В }

При помощи кругов Эйлера пересечение множеств А и В изображается заштрихованной областью :

рис.5

Заметим, что если множества А и В не имеют общих элементов, то А  В =. Также, А =, А  А = А.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В. Обозначение: А  В.

Определение объединения можно записать в виде:

А  В = { x | x  A или х  В }

Заметим, что А  = А и А  А = А.

Объединение множеств А и В изображается с помощью кругов Эйлера заштрихованной областью:

рис.6

Определение. Разностью множеств А и В называется множество элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. Обозначение: А \ В.

Определение разности множеств А и В можно записать в виде

А \ В = { x | x  A и х  В }

Изображение:

рис.7

ПРИМЕР. Даны два множества:

P = { x | x = 3k, k  N, x <20 } ,

Q = { x | x = 4k, k  N, x < 20 }.

Найдите А  В, А  В, А \ В, В \ А.

РЕШЕНИЕ. Зададим множества P и Q перечислением элементов : P = { 3, 6, 9, 12, 15, 18 } , Q = { 4, 8, 12, 16 }. Исходя из определений, имеем: P  Q = { 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18 },

P  Q = { 12 }, P \ Q = { 3, 6, 9, 15, 18 }, Q \ P = { 4, 8, 16 }.

Определение. Универсальным называют такое множество, которое содержит в себе все множества, рассматриваемые в данной задаче. Обозначение: U или I.

Определение. Дополнением множества А называется множество элементов универсального множества U, не принадлежащие А. Обозначение: А. Очевидно А = U \ A.

Контрольные вопросы и устные упражнения

Понятие множества, его элемент. Что означает запись:

а) а  М, б) с В.

Конечные и бесконечные множества.

Пустое множество. Как его обозначают? Почему ¢{¢}

Равные множества. Как доказать, что два множества равны? Верно ли, что {1, 2, 3} = {3, 2, 2, 3, 1}?{1. 2, {1. 2}}={{1,2}, 2}?

Способы задания множеств. Задайте различными способами множество натуральных чисел, меньших 5.

Подмножество. Как проверить, что одно множество является подмножеством другого? Верно ли, что А подмножество В, где , ? Какое подмножество называется собственным? несобственным? Приведите примеры.

Универсальное множество.

Упражнения

1. 1. Запишите перечислением элементов:

1. Множество простых чисел первых двух десятков;

2. Множество букв в слове “ параллелограмм”;

3. Множество корней уравнения х² = 25;

4. Множество цифр в числе 25252;

5. Множество целых чисел, заключенных между 65 и 75;

6. Множество натуральных делителей числа 3003.

1. 2. Поставьте вместо звездочки знак  или  так, чтобы получилось верное высказывание :

35  N , 15  Z , -73  Q, 1,73  Z , 3,11  Q ,  Q ,

 R , е  Q,  Q, Sin  Z, 1234  Z, Q

+  N, -123456  3Z.

1.3. Запишите с помощью перечисления элементов.

1. Множество правильных несократимых дробей со знаменателем 9;

2. Множество несократимых дробей с однозначным знаменателем, заключенных между числами 0 и 1/2 .

1.4. Найдите множество корней уравнения;

1. (х - 1)(х - 2)(х - 3) = 0;

2. (х² - 9)(х² - 25) = 0;

3. х² + 3х + 4 = 0;

4. (х² - 4х + 1)= 0;

5. х² - 5()² - 14 = 0;

6. х² - 5 - 14 = 0;

7. х + = 0;

8. 3х² + |х - 2| = 2;

9. (х² - 2х)(х - 1)² = 12;

10. (х - 1)(х + 0,5)(х⁴ + 7) = 0

1.5. Запишите с помощью перечисления элементов

множество :

1. А = {х | х  N, х < 12};

2. В = { х | х  Z , |х | < 5 ;

3. C = { х | х = 3n, n N , х < 33};

4. D = { х | х = 5n + 1, n N , х < 50};

5. E = { x | - > x, x  Z, x < 19 };

6. K = { x | | x - 3 | = 5 };

7. 4 = { n | n  Z ;  Z };

8. М = {( х, y) | х + у - ху = 0, х, у,  Z };

9. N = {(х, у) | х² - у² = 3, х, у  N};

10. О = {(х, у) | х² - 3ху + 2у² = 3, х, у  Z}.

1.6. Докажите, что множества А и В равны :

1. А = {у | у  Z, |у| < 5}, В = { у | у  Z, -7 < у - 2 < 3};

2. А = {у | у = (а-3)(а+5), а  Q}, В ={у | у=а²+2а-15,а Q};

3. А = {х | х = 8к -3, к  Z}, В = {х | х = 8n + 5, n  Z}

1.7. Среди множеств выделите равные:

А = { х | х  Z, х²  25 }; В = { х | х  Z, -3  х  5};

C = { х | х  Z, | х |  5 }; D = { х| [ Z,|х-1|  4 }.

1.8.Что представляет собой множество точек плоскости:

1. равноудаленных от двух точек А и В;

2.равноудаленных от трех точек А,В и С, не лежащих на одной прямой;

3. равноудаленных то трех точек А, В и С, лежащих на одной прямой;

4. равноудаленных от сторон угла АОВ?

1.9. В каких координатных углах расположены точки, принадлежащие множеству:

1. { ( х ; у ) | х  N , у  N };

2. { ( х ; у ) | х  Z , у  N };

3. { ( х ; у ) | х  Q , у  Q , у  0 };

4. { ( х ; у ) | х  Q , у  Q , у  0 }.

1.10. Постройте в координатной плоскости множество точек:

1. { ( х ; у ) | х  Z , у  Z , -2  х  2, -2  у  2 };

2. { ( х ; у ) | х - любое число, у = 3 };

3. { ( х ; у ) | х = 2, у - любое число };

4. { ( х ; у ) | 1  х  2, у - любое число }.

1.11. Найдите множество решений системы уравнений:

1. (х + 1)² - (х - 2)² = 9 2. (х - 2)² - (х + 3)² = 10

(у + 1)² - (у - 1)² = 4 (у + 5)² - (у - 5)² = 48.

1.12. Найдите n(А), если:

1. А - множество натуральных делителей числа 28,

2. А - множество трехзначных чисел;

3. А - множество цифр в записи числа 11010100;

4. А - множество букв в слове “ математика”;

5. А - множество корней уравнения х² + 1 = 0;

1.13. Сколько элементов содержит множество В, если:

1. В - множество простых двузначных чисел;

2. В - множество простых делителей числа 1001?

1.14. Известно, что х  А и х  В. Следует ли отсюда,

что: 1. А  В; 2. В  А; 3. А = В? Изобразите на кругах Эйлера . Объясните, почему А = {2, 4, 6} является подмножеством множества В = {2, 4, 6,7}, но С = {4, 6, 8} не будет подмножеством В.

1.15. Изобразите с помощью кругов Эйлера отношения

между множествами А и В, если:

1. А - множество натуральных чисел,

В - множество чисел, кратных 5 (5Z);

2. А - множество прямоугольников,

В - множество квадратов;

3. А - множество прямоугольников,

В - множество прямоугольных треугольников.

1.16. Каковы отношения между множествами N, Z, Q, R? Изобразите эти отношения на кругах Эйлера.

1.17. Выпишите все подмножества множества А, если:

1. А = {а}; 2. А ={а, в}; 3. А ={ 1, 2, 3 }; 4. А ={{1};{2; 3}}. Чему равно количество подмножеств n - множества ?

1.18. Для множеств А и В выясните, какие из утверждений: А  В,

В  А, А = В, - верны:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ?

1.19. Докажите:

1. если А  В , В  С , С  А, то А = В = С;

2. если А  В , В  С , С  В , то С  А;

3. если А  В , то (А  С)  (В  С);

4. если А  В , то (А \ С)  (В \ С).

1.20. Подмножества конечного множества называются сочетаниями. С¹_n - число одноэлементных подмножеств множества из n элементов ; С²_{n -} число 2 -элементных подмножеств, С³_n - число 3 - элементных подмножеств.

1. Задано множество А = { а, в, е}. Выпишите одноэлементные, 2- элементные, 3-элементные подмножества. Найдите С ⁰₃ , С¹₃, С²₃ , С³₃ , С⁰₃ + С¹₃ + С²₃ + С³_{3 ,}

2. А = { а, в, с, d,е }. Убедитесь: С ⁰₅ = С ⁵₅ ; C¹₅ = C ⁴₅ , С²₅ = С³₅ . Чему равен х, если С^к_n = C^х_n ?

З А Н Я Т И Е № 2.

Операции над множествами